Tangens und Kotangens

Schaubild der Tangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)
Schaubild der Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels wird mit bezeichnet, der Kotangens des Winkels mit . In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen für den Tangens und für den Kotangens.

Definition

Historisch/geometrisch

Definition am Einheitskreis:

Ersten Gebrauch der Tangensfunktion machte der persische Mathematiker Abu al-Wafa (940–998). Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.[1]

Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

Daraus folgt unmittelbar:

sowie

Analytische Definition

Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden, weshalb für den Tangens und Kotangens das Gleiche gilt. Komplexe Argumente werden durch analytische Definition erlaubt. Dabei gilt eine Surjektivität von Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion. Daraus resultierend sind Tangens und Kotangens als komplexwertige Funktion ebenso surjektiv.

Beziehung zu Taylorreihen

Tangens und Kotangens können als Quotienten von je zwei Taylorreihen dargestellt werden. Beruhend auf diesen Reihen lassen sich auch Arkustangens und Arkuskotangens als Quotienten von je zwei Taylorreihen darstellen (siehe Reihenentwicklung).

Beziehung zur Exponentialfunktion

Tangens und Kotanges sind als Trigonometrische Funktionen eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie auch der Sinus, Kosinus, Sekans und Kosekans, wobei aus

für den Tangens mit und Kotangens mit

resultiert.

Formal – mit Definitions- und Wertebereich

Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch

mit

definiert werden,[2] wobei der Wertebereich je nach Anwendung die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen sind. Um zu verhindern, dass der Nenner Null wird, werden beim Definitionsbereich die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:

im Reellen bzw.

im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch

mit

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich

im Reellen bzw.

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von und

gilt

Eigenschaften

Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis

Periodizität

Der Tangens und der Kotangens sind periodische Funktionen mit der Periode , es gilt also .

Monotonie

Der Tangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton steigend.
Der Kotangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton fallend.

Symmetrien

Tangens und Kotangens sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

Nullstellen

Tangens:
Kotangens:   

Polstellen

Tangens:
Kotangens:   

Wendestellen

Tangens:
Kotangens:   

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber weder Sprungstellen noch Extrema.

Differenzierbarkeit

Tangens und Kotangens sind beliebig oft differenzierbar.[3]

TangensKotangens

Wichtige Funktionswerte

TangensKotangensAusdrucknum. Wert
0
0,2679491…
0,3249196…
0,4142135…
0,5773502…
0,7265425…
1
1,7320508…
2,4142135…
3,7320508…
Polstelle

[4]

Umkehrfunktionen

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man folgende Bijektionen:

Tangens

Die Umkehrfunktion

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens

Die Umkehrfunktion

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Asymptoten

Aus den einseitigen Grenzwerten[5]

  und

resp.[6]

  und  

leiten sich die Grenzwerte[5]

  und

resp.[6]

  und  

her. Somit kann man nach der Einschränkung auf die Intervalle   resp.   die Definitionsbereiche wenigstens um die Endpunkte resp. der Intervalle wieder erweitern und unter Anpassung der Wertebereiche die beiden Funktionen stetig fortsetzen zu

resp.

mit als den erweiterten reellen Zahlen.

Die so erweiterten Funktionen sind ebenfalls stetig umkehrbar.

Reihenentwicklung

Tangens für |x| < ½π (im Bogenmaß)
Tangens

Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt (Maclaurinsche Reihe) lautet für [7]

Dabei sind mit die Bernoulli-Zahlen und mit die Dirichletsche Lambda-Funktion bezeichnet.

Aus der Reihendarstellung folgt für :

  1. und
  2. ist streng monoton steigend mit .

Ersetzt man in der Reihendarstellung durch , ergibt sich für :

ist streng monoton fallend und .
Kotangens

Die Laurent-Reihe lautet für [8]

Damit hat man für im Konvergenzbereich die Taylor-Reihe

,

wobei die Langevin-Funktion bezeichnet. Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens stammt von Leonhard Euler (Introductio in Analysin Infinitorum, 1748, Paragraph 178) und wurde als einer seiner schönsten Resultate bezeichnet.[9] Ein einfacher Beweis benutzt den Herglotz-Trick.[10][11] Eine Folgerung aus der Formel ist die Ableitung der Werte der Riemannschen Zetafunktion an den geraden natürlichen Zahlen.

Ableitung

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

Die -ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:

Stammfunktionen

Tangens
   mit    

Mithilfe der Logarithmengesetze lässt sich die Stammfunktion wie folgt darstellen:

Dabei bezeichnet den Sekans.

Kotangens
   mit    

Komplexes Argument

  mit
  mit

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten:

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel:

Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)Tangens

Die Auflösung der bereits aus dem obigen Abschnitt Ableitung bekannten Identitäten

nach bzw. ergibt bei Beschränkung auf den ersten Quadranten zunächst einmal Einfaches:

für
für

Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz lassen sich entweder kompakt als Grenzwert mit Hilfe der Floor-Funktion oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen:

Rationale Parametrisierung

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist , so ist

Insbesondere ist

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes (der dem Parameter entspricht). Einem Parameterwert entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von und mit dem Einheitskreis (s. a. Einheitskreis#Rationale Parametrisierung).

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

Beispiel für eine Steigung

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion

besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung der Geraden, d. h. . Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 % entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5,7° mit dem Tangens von 0,1.

Anwendung in der Physik

Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form mit der Schwerebeschleunigung und einer Konstanten . Dann ergibt sich:

,

wobei die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn ist, das heißt für ), daran anschließend muss man den Tangens hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.

Differentialgleichung

Der Tangens ist eine Lösung der Riccati-Gleichung

.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

mit der imaginären Einheit . Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte , : Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen und Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Tangensfunktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Josef Laub (Hrsg.): Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6, S. 223.
  2. Per Dreisatz ist sin/cos = tan/1.
  3. Differenzierbarkeit. In: Uni-kiel.de. Abgerufen am 11. April 2022.
  4. Für den größten gemeinsamen Teiler dieser Winkel gilt:
  5. a b Die Geraden und sind senkrechte Asymptoten der Tangensfunktion wie auch waagrechte der Umkehrfunktion
  6. a b Die Geraden und sind senkrechte Asymptoten der Kotangensfunktion wie auch waagrechte der Umkehrfunktion
  7. Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, 4.3.67.
  8. Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, 4.3.70.
  9. Aigner, Ziegler, Das Buch der Beweise, Springer 2018, S. 207
  10. Dargestellt in Aigner, Ziegler, Das Buch der Beweise, 2018, S. 207 ff., Kapitel 26
  11. Jürgen Elstrodt, Partialbruchzerlegung des Kotangens, Herglotz-Trick und die Weierstraßsche stetige, nirgends differenzierbare Funktion, Mathematische Semesterberichte, Band 45, 1998, S. 207–220

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proportional cotangent curve [-2pi|2pi]
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proportional tangent curve [-2pi|2pi]
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