Langevin-Funktion

Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Definition

Die Langevin-Funktion[1] ist definiert durch

,

wobei den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Eine Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter eingeführt:

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

Für die Magnetisierung eines Paramagneten ergibt sich dann:

steht dabei für die Stoffmenge und für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Reihenentwicklungen

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

Dieser Wert ist beim sogenannten Basler Problem die Lösung.

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung[1] der Langevin-Funktion für ist

.

Für gilt die Näherung[1]

.

Umkehrfunktion

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von Spitzklammern umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die Lambertsche W-Funktion nicht elementar darstellbar.

Eine verbreitete Näherung, die im Intervall gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:[2]

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um . Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben.[3][4]

Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgt[5] und hat den Konvergenzradius 1:

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. a b c Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.
  2. A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.
  3. R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.
  4. M. Kröger: Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 223. Jahrgang, 2015, S. 77–87, doi:10.1016/j.jnnfm.2015.05.007.
  5. Laurence A. Belfiore: Physical Properties of Macromolecules. John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470551585 S. 277 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

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Plot of the Langevin function in the interval [-10, 10].