Hyperbelfunktion

Sinus hyperbolicus (rot)
Kosinus hyperbolicus (blau)
Tangens hyperbolicus (grün)
Kosekans hyperbolicus (rot)
Sekans hyperbolicus (blau)
Kotangens hyperbolicus (grün)

Die Hyperbelfunktionen sind die korrespondierenden Funktionen der trigonometrischen Funktionen (die auch als Winkel- oder Kreisfunktionen bezeichnet werden), allerdings nicht am Einheitskreis , sondern an der Einheitshyperbel .

Wie eng diese Funktionen miteinander verwandt sind, erschließt sich noch deutlicher in der komplexen Zahlenebene. Sie wird durch die Relation vermittelt. So gilt z. B. .

Folgende Funktionen gehören zu den Hyperbelfunktionen:

  • Hyperbelsinus oder lat. Sinus hyperbolicus (Formelzeichen: )
  • Hyperbelkosinus oder lat. Cosinus hyperbolicus ()
  • Hyperbeltangens oder lat. Tangens hyperbolicus ()
  • Hyperbelkotangens oder lat. Cotangens hyperbolicus ()
  • Hyperbelsekans oder lat. Sekans hyperbolicus ()
  • Hyperbelkosekans oder lat. Kosekans hyperbolicus ().

In der deutschen und der holländischen Sprache werden noch sehr häufig die lateinischen Namen verwendet, mit teils eingedeutschter Schreibweise.

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph. Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.

Definition

Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel im Punkt , wobei die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der -Achse, und der Hyperbel ist.

Definition über die Exponentialfunktion

Mittels der Exponentialfunktion können und wie folgt definiert werden:

Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode). Die Potenzreihen von und lauten

wobei der Ausdruck für die Fakultät von , das Produkt der ersten natürlichen Zahlen steht. Im Gegensatz zu den Potenzreihenentwicklungen von und haben alle Terme ein positives Vorzeichen.

Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel

Wegen ihrer Verwendung zur Parametrisierung der Einheitshyperbel :

werden sie Hyperbelfunktionen genannt, in Analogie zu den Kreisfunktionen Sinus und Kosinus, die den Einheitskreis parametrisieren:

Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche , die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der -Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist die (positive) -Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und die dazugehörige -Koordinate; ist die -Koordinate der Geraden bei , d. h. die Steigung der Geraden.

Berechnet man die Fläche durch Integration, erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen

Graph der reellen Hyperbelfunktionen
  • Für alle reellen Zahlen sind auch und reell.
  • Die reelle Funktion ist streng monoton steigend und besitzt in ihren einzigen Wendepunkt.
  • Die reelle Funktion ist für auf dem Intervall streng monoton fallend, auf dem Intervall streng monoton steigend und besitzt bei ein globales Minimum.

Wegen gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen, die im nachfolgenden Absatz aufgeführt sind, auch für die Funktionen, die auf die reellen Zahlen eingeschränkt sind.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen

Für alle komplexen Zahlen gilt:

Symmetrie und Periodizität

  • , d. h., sinh ist eine ungerade Funktion.
  • , d. h., cosh ist eine gerade Funktion.
  • ,

d. h., es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge .

Additionstheoreme

Zusammenhänge

Ableitung

Die Ableitung des Sinus hyperbolicus lautet:

.

Die Ableitung des Kosinus hyperbolicus lautet:

.

Die Ableitung des Tangens hyperbolicus lautet:

.

Differentialgleichung

Die Funktionen und bilden wie und eine Lösungsbasis (Fundamentalsystem) der linearen Differentialgleichung

.

Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung noch , und ,, so sind sie bereits eindeutig durch und festgelegt. Sprich, diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden.

Bijektivität der komplexen Hyperbelfunktionen

sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

Dann bildet die komplexe Funktion den „Streifen“ bijektiv auf ab.

cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

Dann bildet die komplexe Funktion den „Streifen“ bijektiv auf ab.

Historische Notation

In deutschsprachiger Literatur wurden zur Unterscheidung von den trigonometrischen Funktionen die Hyperbelfunktionen lange Zeit in Frakturschrift dargestellt – mit initialer Großschreibung und ohne abschließendes h:[1]

Alternative Namen

  • Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
  • Für sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
  • Für sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich. Der Graph entspricht der Kettenlinie (Katenoide).

Abgeleitete Funktionen

  • Tangens hyperbolicus:
  • Cotangens hyperbolicus:
  • Secans hyperbolicus:
  • Kosecans hyperbolicus:

Umrechnungstabelle

Funktion

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen

Literatur

  • Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch (Harri).

Weblinks

Commons: Hyperbolic functions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2002, ISBN 978-3-540-42838-1, S. 243, doi:10.1007/978-3-662-05694-3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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Plot of the three basic Hyperbolic functions: hyperbolic sine (sinh), hyperbolic cosine (cosh) and hyperbolic tangent (tanh). Sinh is red, cosh is blue and tanh is green.
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Graphen von
  • Rot: Cosecans Hyperbolicus
  • Blau: Secans Hyperbolicus
  • Grün: Cotangens Hyperbolicus
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Plot of the two basic Hyperbolic functions: hyperbolic sine (sinh) and hyperbolic cosine (cosh). Sinh is red and cosh is blue.