Polygammafunktion

In der Mathematik sind die Polygammafunktionen ${\displaystyle \psi _{n}(z)}$ eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion ${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$ definiert sind. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma (z)}$ die Gammafunktion und ${\displaystyle \ln }$ den natürlichen Logarithmus.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene

${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$	${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(2)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(3)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}$

Notation

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi ${\displaystyle \psi }$ gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion ${\displaystyle \psi (z)}$ bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol ${\displaystyle \psi _{1}}$ (oder seltener ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$) und ist die zweite Ableitung von ${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$. Allgemein wird die ${\displaystyle n}$-te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle \psi _{n}}$ oder ${\displaystyle \psi ^{(n)}}$ bezeichnet und als die ${\displaystyle (n+1)}$-te Ableitung von ${\displaystyle \ln \Gamma (x)}$ definiert.

Definition und weitere Darstellungen

Es ist

${\displaystyle \psi _{m}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\,\psi (z)}$

mit der Digammafunktion ${\displaystyle \psi (z)}$. Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}\mathrm {e} ^{-zt}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t}$

für ${\displaystyle {\rm {{Re}\,z>0}}}$ und ${\displaystyle m>0.}$

Eigenschaften

Differenzengleichungen

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

${\displaystyle \psi _{m}(z+1)=\psi _{m}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-m-1}.}$

Reflexionsformel

Eine weitere wichtige Beziehung lautet

${\displaystyle (-1)^{m}\psi _{m}(1-z)-\psi _{m}(z)=\pi {\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\cot {(\pi z)}.}$

Multiplikationsformel

Die Multiplikationsformel ist für ${\displaystyle m>0}$ gegeben durch

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\psi _{m}\left({\frac {z+k}{n}}\right)=n^{m+1}\psi _{m}(z).}$

Zum Fall ${\displaystyle m=0,}$ also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

wobei ${\displaystyle m>0}$ und ${\displaystyle z\not =-1,-2,-3,\ldots }$ eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (x,y)}$ schreiben als

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}$

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen ${\displaystyle m}$ ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

${\displaystyle \psi _{m}(z)=-\gamma \delta _{m,0}\;-\;{\frac {(-1)^{m}m!}{z^{m+1}}}\;+\;\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{m,0}\;-\;{\frac {(-1)^{m}m!}{(z+k)^{m+1}}}\right),}$

wobei ${\displaystyle \delta _{n,0}}$ das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um ${\displaystyle z=1}$ ist gegeben durch

${\displaystyle \psi _{m}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},}$

die für ${\displaystyle |z|<1}$ konvergiert. ${\displaystyle \zeta }$ bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie ${\displaystyle \pi }$, Quadratwurzel, Clausen-Funktion ${\displaystyle \mathrm {Cl} (x)}$, riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante ${\displaystyle G}$ sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.

${\displaystyle \psi _{m}({\tfrac {1}{2}})=(-1)^{m+1}m!\,(2^{m+1}-1)\zeta (m+1),\qquad m\in \mathbb {N} }$

Allgemein gilt ferner:

${\displaystyle \psi _{m}(1)=(-1)^{m+1}m!\,\zeta (m+1),\qquad m\in \mathbb {N} }$.

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}\tan x={\frac {\psi _{m}({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})-(-1)^{m}\,\psi _{m}({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{m+1}}}}$.

Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{4}}}={\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{2}\right).}$

Verallgemeinerte Polygammafunktion

Espinosa und Moll haben 2003 eine verallgemeinerte Polygammafunktion ${\displaystyle \psi _{s}(z)}$ eingeführt, die nun sogar für alle komplexen Werte ${\displaystyle s}$ definiert ist.^[1] Diese hat für ${\displaystyle s\neq 0,1,2,\dotsc }$ die allgemeine Taylor-Entwicklung

${\displaystyle \psi _{s}(1+z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (-s-n)}}\left(\zeta '(s+n+1)+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k-s-n-1}}\right)\zeta (s+n+1)\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

gültig im Bereich ${\displaystyle |z|<1}$.^[2] Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht fraktionale Infinitesimalrechnung. Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewählt.^[3]

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus -\mathbb {N} _{0}}$ die Funktionalgleichung

${\displaystyle \psi _{s}(z+1)=\psi _{s}(z)+{\frac {\ln z-\psi (-s)-\gamma }{\Gamma (-s)}}\,z^{-(s+1)},}$

wobei ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

${\displaystyle {\frac {\psi (-m)}{\Gamma (-n)}}=(-1)^{n-1}n!}$

für ganzzahlige ${\displaystyle m,n\geq 0}$ ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche ${\displaystyle n}$ eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen ${\displaystyle \zeta }$-Funktion erhält man dann die Beziehung

${\displaystyle \psi _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (-s)}}\left({\frac {\partial }{\partial s}}+\psi (-s)+\gamma \right)\zeta (s+1,z)=\mathrm {e} ^{-\gamma \,s}{\frac {\partial }{\partial s}}\left(\mathrm {e} ^{\gamma \,s}\,{\frac {\zeta (s+1,z)}{\Gamma (-s)}}\right),}$

welche die Funktionalgleichung erfüllt.^[4]

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

${\displaystyle \psi _{s}\left({\frac {z}{2}}\right)+\psi _{s}\left({\frac {z+1}{2}}\right)=2^{s+1}\psi _{s}(z)+{\frac {2^{s+1}\ln 2}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z)}$

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

${\displaystyle \psi _{s}(z)=n^{-s-1}\sum \limits _{k=0}^{n-1}\psi _{s}\left({\frac {z+k}{n}}\right)-{\frac {\ln n}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z),}$

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$ enthält.

q-Polygammafunktion

Die ${\displaystyle q}$-Polygammafunktion ist definiert durch^[5]

${\displaystyle \psi _{n}^{q}(z)={\frac {\partial ^{n}\psi _{q}(z)}{\partial z^{n}}}}$.

Literatur

• Eric W. Weisstein: Polygamma Function auf MathWorld, in functions.wolfram.com, in references.worlfram.com.
• Milton Abramowitz und Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0. Siehe §6.4

Einzelnachweise

1. ↑ O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv).
2. ↑ O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6–7.
3. ↑ N. Grossman: Polygamma functions of arbitrary order. SIAM J. Math. Anal. 7, 1976, 366–372.
4. ↑ Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
5. ↑ Eric W. Weisstein: q-Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).