Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole ${\displaystyle \sinh }$ bzw. ${\displaystyle \cosh }$, in älteren Quellen auch ${\displaystyle {\mathfrak {Sin}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {Cos}}.}$^[1] Die Kurve, die ein an zwei Punkten aufgehängtes Seil einheitlicher Längendichte beschreibt, ist ein Kosinus hyperbolicus. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

• Sinus hyperbolicus

${\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=-\mathrm {i} \,\sin(\mathrm {i} \,x)}$

• Kosinus hyperbolicus

${\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cos(\mathrm {i} \,x)}$

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion

${\displaystyle \exp x=\cosh x+\sinh x}$.

Der Quotient dieser beiden Funktionen wird Tangens hyperbolicus genannt:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}}$

${\displaystyle \sinh(\ln \Phi )={\tfrac {1}{2}}}$ mit dem goldenen Schnitt ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \cosh(\ln \Phi )={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}}$

Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\cosh(x)}}={\biggl \{}\arctan {\bigl [}\sinh(x){\bigr ]}{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }=\pi .}$

Die in den geschweiften Klammern stehende Funktion wird Gudermannsche Funktion ${\displaystyle \mathrm {gd} (x)=\arctan[\sinh(x)]}$ genannt.

Außerdem gilt für die Quadratwurzel:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh(x)}}}={\biggl \{}2\,\mathrm {arcsl} {\bigl [}\tanh {\bigl (}{\frac {1}{2}}x{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }=2\varpi }$

Die Bezeichnung ${\displaystyle \mathrm {arcsl} }$ steht für den Lemniskatischen Arkussinus und mit dem Kürzel ${\displaystyle \varpi }$ wird die Lemniskatische Konstante ausgedrückt.

Für den Kehrwert des kardinalisierten Sinus Hyperbolicus gilt folgendes uneigentliches Integral:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\,\mathrm {d} x}{\sinh(x)}}={\biggl \{}2\,\mathrm {Li} _{2}{\bigl [}\tanh {\bigl (}{\frac {1}{2}}x{\bigr )}{\bigr ]}-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}{\bigl [}\tanh {\bigl (}{\frac {1}{2}}x{\bigr )}^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }={\frac {1}{2}}\pi ^{2}}$

Die Bezeichnung ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}}$ stellt den Dilogarithmus dar.

Der Sinus hyperbolicus bildet ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bijektiv auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus hyperbolicus nennt.

Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall ${\displaystyle [0,+\infty [}$ bijektiv auf das Intervall ${\displaystyle [1,+\infty [}$ und lässt sich eingeschränkt auf ${\displaystyle [0,+\infty [}$ also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus.

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\ }$.

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\ }$.

Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh x\,\mathrm {d} x&=\cosh x+C\\\int \cosh x\,\mathrm {d} x&=\sinh x+C\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cosh ^{2}x\!\;-\sinh ^{2}x=1}$

${\displaystyle \cosh x\,\;+\sinh x\,\,=e^{x}}$ (Eulersche Identität)

${\displaystyle \cosh x\,\;-\sinh x\,\,=e^{-x}}$

${\displaystyle \cosh({\rm {arsinh}}(x))={\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\displaystyle \sinh({\rm {arcosh}}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}}$ (Hyperbelgleichung)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\\cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\end{aligned}}}$

insbesondere gilt für ${\displaystyle y:=x}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh 2x&=2\cdot \sinh x\cosh x\ \\\cosh 2x&=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cdot \cosh ^{2}x-1=2\cdot \sinh ^{2}x+1\end{aligned}}}$

und für ${\displaystyle y:=2x}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh 3x&=4\cdot \sinh ^{3}x+3\sinh x\ \\\cosh 3x&=4\cdot \cosh ^{3}x-3\cosh x\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x\pm \sinh y&=2\sinh {\frac {x\pm y}{2}}\cosh {\frac {x\mp y}{2}}\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\cosh(2x)-1{\Big )}\\\cosh ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\cosh(2x)+1{\Big )}\end{aligned}}}$

Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt ${\displaystyle x=0}$ lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\dotsb \\\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dotsb \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh x=x\cdot \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(k\pi )^{2}}}\right)\\&\cosh x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Dann gilt für alle komplexen ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh z={\left({\frac {2}{\mathrm {i} }}\right)}^{\!\!n-1}\,\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sinh {\frac {z+k\,\pi \,\mathrm {i} }{n}}\\&\cosh z=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\cosh {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi \,\mathrm {i} }{n}}\end{aligned}}}$

Mit ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos y\,\sinh x+\mathrm {i} \sin y\,\cosh x\\\cosh(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos y\,\cosh x+\mathrm {i} \sin y\,\sinh x\\\sin(x+\mathrm {i} \,y)&=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y\\\cos(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y\\\end{aligned}}}$

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} \,y}$ gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(\mathrm {i} \,z)&=\cos(x+\mathrm {i} \,y)+\mathrm {i} \sin(x+\mathrm {i} \,y)\\&=\exp(\mathrm {i} \,(x+\mathrm {i} \,y))\\&=\exp(\mathrm {i} \,x)\,\exp(\mathrm {i} \,(\mathrm {i} \,y))\\&=(\cos x\,\cos(\mathrm {i} \,y)-\sin x\,\sin(\mathrm {i} \,y))+\mathrm {i} \,(\cos x\,\sin(\mathrm {i} \,y)+\sin x\,\cos(\mathrm {i} \,y))\\&=(\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y)+\mathrm {i} \,(\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y)\\\end{aligned}}}$

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y\\\sin(x+\mathrm {i} \,y)&=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y\\\end{aligned}}}$

Die Funktion

${\displaystyle f(x)=a\cdot \sinh x+b\cdot \cosh x}$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

löst die Differentialgleichung

${\displaystyle f''(x)-f(x)=0\ }$.

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Mit Hilfe der Rapidität ${\displaystyle \lambda }$ kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}\cosh \lambda &-\sinh \lambda &0&0\\-\sinh \lambda &\cosh \lambda &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch

${\displaystyle a(t)=\left({\sqrt {\frac {1-\Omega _{\Lambda ,0}}{\Omega _{\Lambda ,0}}}}\sinh \left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)\right)^{2/3}}$,

wobei

${\displaystyle t_{\mathrm {ch} }={\frac {2}{3{\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}}}$

eine charakteristische Zeitskala ist. ${\displaystyle H_{0}}$ ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, ${\displaystyle \Omega _{\Lambda ,0}}$ der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:

${\displaystyle \Omega _{M}(t)=\cosh ^{-2}\left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)}$

Die sogenannten Cardanischen Formeln dienen zum Lösen von kubischen Gleichungen. Diese Formeln wurden nach dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano benannt. Das Verdreifachungstheorem des Sinus Hyperbolicus lautet wie folgt:

${\displaystyle \sinh(3a)=4\sinh(a)^{3}+3\sinh(a)}$

Abgewandelt gilt somit:

${\displaystyle y=4\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (y){\bigr ]}^{3}+3\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (y){\bigr ]}}$

Für den Allgemeinfall der durch kubische Ergänzung reduzierten kubischen Gleichung kann mit diesem Theorem aufgelöst werden:

Gegeben ist folgende Formel:

${\displaystyle x^{3}+rx=s}$

${\displaystyle 4{\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{r}}}\,x{\Bigr )}^{3}+3{\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{r}}}\,x{\Bigr )}={\frac {3{\sqrt {3}}\,s}{2\,r^{3/2}}}}$

Substitutiv wird diese nun entstandene Form auf das Verdreifachungstheorem übertragen:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{r}}}\,x=\sinh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {\biggl (}{\frac {3{\sqrt {3}}\,s}{2\,r^{3/2}}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Falls r eine positive Zahl ist, gilt somit folgendes Paar aus Gleichung und Lösung:

${\displaystyle x^{3}+rx=s}$

${\displaystyle x={\frac {2}{3}}{\sqrt {3\,r}}\sinh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {\biggl (}{\frac {3{\sqrt {3}}\,s}{2\,r^{3/2}}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

So gilt beispielsweise für den Kehrwert der Supergoldenen Zahl dieser Ausdruck:

${\displaystyle x^{3}+x=1}$

${\displaystyle x={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {\biggl (}{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Wenn der Koeffizient des linearen Gliedes von 1 auf 2 abgeändert wird, dann entsteht folgende Gleichung mit folgender reeller Lösung:

${\displaystyle x^{3}+2x=1}$

${\displaystyle x={\frac {2}{3}}{\sqrt {6}}\sinh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {\biggl (}{\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Auch die quartischen Gleichungen können für den Allgemeinfall vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen gelöst werden:

Ebenso soll hierfür ein Beispiel angeführt werden:

${\displaystyle x^{4}=x+1}$

${\displaystyle x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}}$

Im Gegensatz zum Regelfall der Gleichungen dritten Grades und vierten Grades kann der Regelfall der Gleichungen fünften Grades nicht elementar dargestellt werden. Diese Tatsache wird durch den Satz von Abel-Ruffini ausgedrückt und wurde ebenso durch den Mathematiker Évariste Galois erforscht. Die Lösungen derjenigen quintischen Gleichungen aber, welche sehr wohl mit elementaren Wurzelausdrücken gelöst werden können, lassen sich stark vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen und ihren Umkehrfunktionen darstellen. Im Folgenden sollen hierfür zwei solche qunitischen Gleichungen mit ihren hyperbolisch dargestellten Lösungen gezeigt werden:

Erstes Beispiel:

${\displaystyle x^{5}+280x=1344}$

${\displaystyle x=2^{7/4}{\bigl (}{\frac {7}{5}}{\bigr )}^{1/2}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}2^{1/4}{\bigl (}{\frac {7}{5}}{\bigr )}^{-3/2}(2{\sqrt {2}}+1){\biggr ]}{\biggr \}}-2^{7/4}{\bigl (}{\frac {7}{5}}{\bigr )}^{1/2}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}2^{1/4}{\bigl (}{\frac {7}{5}}{\bigr )}^{-3/2}(2{\sqrt {2}}-1){\biggr ]}{\biggr \}}}$

Zweites Beispiel:

${\displaystyle x^{5}+11x=44}$

${\displaystyle x=2{\sqrt {11}}\,5^{-3/4}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}5^{7/4}11^{-3/2}(2{\sqrt {5}}+3){\biggr ]}{\biggr \}}-2{\sqrt {11}}\,5^{-3/4}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}5^{7/4}11^{-3/2}(2{\sqrt {5}}-3){\biggr ]}{\biggr \}}}$

• Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus
• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen.

• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Sine und Hyperbolic Cosine auf MathWorld (engl.)

1. ↑ Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.