Stellenwertsystem

Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, dessen Zahlzeichen aus Ziffern besteht, deren jeweiliger Beitrag zum Gesamtwert der Zahl von ihrer Position innerhalb des Zahlzeichens abhängt. Beispielsweise trägt im weitverbreiteten Zehnersystem bei einer Zahl mit dem Zahlzeichen „127“ die Ziffer „1“ den Wert 1· 100 zum Zahlenwert bei, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert 2· 10 sowie für die Ziffer „7“ der Wert 7· 1. Die Ziffern „1“, „2“ und „7“ besitzen jeweils ihren Ziffernwert, tragen aber zum Zahlenwert mit einem Gewicht bei, das davon abhängt, an welcher Position sie im Zahlzeichen stehen.

Wenn der Ziffernvorrat des Stellenwertsystems aus ${\displaystyle b}$ Schriftzeichen besteht, dann gilt für das Zehnersystem mit dem Ziffernvorrat von „0“ bis „9“ die Anzahl ${\displaystyle b=10}$. Für Zahlen mit einem Wert größer als die höchstwertige Ziffer (im Beispiel die „9“) werden keine weiteren Ziffern geschaffen, sondern der Stelle oder Position, die von einer Ziffer belegt ist, wird eine weitere Stelle vorangestellt. Die Ziffer auf der zusätzlichen Stelle wird aus demselben Vorrat entnommen, wird aber um den Faktor ${\displaystyle b}$ höher gewichtet. Dadurch bekommt jede Stelle einen Wert, ihren Stellenwert; durch den Faktor wird er größer als eins. Für jede weitere erforderliche Stelle erhöht sich ihr Stellenwert um einen weiteren Faktor ${\displaystyle b}$. Damit ergibt sich der Wert ${\displaystyle Z}$ einer dreistelligen natürlichen Zahl aus ihren drei Ziffernwerten ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{0}}$ zu

${\displaystyle Z=a_{2}\cdot b^{2}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}\cdot b^{0}}$.

Bei dem systembedingt endlichen Vorrat an Ziffern hängt die Anzahl der für ein Zahlenzeichen erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zu Additionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch zu großen Zahlen hin, jenseits der höchstwertigen Ziffer) linear ist.

(c) Alexander Jones & Eric Pierce, CC BY-SA 3.0

Zahlensysteme sind schon vor Jahrtausenden entstanden. Entwicklungen in verschiedenen Kulturkreisen hatten dasselbe Ziel, Zahlen durch eine Zahlschrift festhalten zu können. Ein frühes Stellenwertsystem ist aus Babylon bekannt. Diese hatte den Nachteil, dass eine Uneindeutigkeit entstehen konnte, wenn in einem Zahlzeichen eine Stelle leer blieb. Sehr viel später wurde zu deren Kennzeichnung ein Lückenfüller oder Platzhalter in das Zahlzeichen eingefügt, der aber nicht als numerischer Bestandteil galt. Durch die sich in Indien bis ins 7. Jahrhundert n. Chr. hinziehende „Entdeckung“ der Zahl null und durch die Einführung eines Schriftzeichens für diese als vollwertige Ziffer, mit dem auch gerechnet werden konnte, kam die indische Mathematik in die Lage, ein Stellenwertsystem in Form des Dezimalsystems zu schaffen, wie es inzwischen weltweit übernommenen worden ist.^[1][2] „Zweifellos ist die Null eine der genialsten Erfindungen der Menschheit.“^[3]

Erst mit der Einführung der Null ist das Stellensystem so leistungsfähig geworden, wie es heute als selbstverständlich erachtet wird, mit dem nicht nur Zahlen dargestellt werden können, sondern auch einfach gerechnet werden kann. Über Arabien kam diese Kenntnis im 13. Jahrhundert durch Fibonacci nach Europa und erst im 16. Jahrhundert verbreitete Adam Ries mit seinen Rechenbüchern das Stellenwertsystem und das schriftliche Rechnen im deutschsprachigen Raum.^[4] Die Erfindung des Dezimalbruchs durch Giovanni Bianchini^[5] gegen Mitte des 15. Jahrhunderts und sein Wiederaufgreifen durch Simon Stevin und Christophorus Clavius gegen Ende des 16. Jahrhunderts hat das numerische Rechnen weiter perfektioniert.

Zahlen werden durch Wörter oder mittels einer Zahlschrift durch Zahlzeichen dargestellt. Diese sind aus Ziffern und gegebenenfalls Vorzeichen oder Trennzeichen zusammengesetzt. Das Besondere an einem Stellenwertsystem liegt in seinem Aufbau auf Stellen, wobei jede Stelle eine Ziffer enthält, und zu jeder Stelle gehört ein eigener Stellenwert. Der Zahlenwert ergibt sich anhand der Anordnung der Ziffern aus deren Ziffernwerten und Stellenwerten.

Die Basis oder Grundzahl ${\displaystyle b}$ des Stellenwertsystems legt den Faktor fest, um den der Stellenwert von Stelle zu Stelle größer wird, angefangen mit dem Stellenwert eins auf der niederwertigsten Stelle einer natürlichen Zahl. Diese Basis ist also dieselbe wie die Basis der Potenzen von ${\displaystyle b}$, die die Stellenwerte ergeben, und sie stimmt mit dem Umfang des Ziffernvorrats überein. Ein Stellenwertsystem mit der Basis ${\displaystyle b}$ nennt man auch ${\displaystyle b}$-adisches Zahlensystem (nicht zu verwechseln mit ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen). Jede ganze Zahl ${\displaystyle b\geq 2}$ eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem.^[6] (Bei ${\displaystyle b=1}$ hätten alle Stellen denselben Stellenwert, was dem Prinzip des Stellenwertystems widerspräche.^[7]) Die gängigsten Basen sind:^[8]

• ${\displaystyle b=\;2}$ : das in der Digitaltechnik verwendete Dualsystem (auch Binärsystem genannt)
• ${\displaystyle b=10}$: unser vertrautes Dezimalsystem
• ${\displaystyle b=16}$: das in der Datenverarbeitung wichtige Hexadezimalsystem.

Weitere in der Praxis verwendete ${\displaystyle b}$-adische Zahlensysteme finden sich im Abschnitt Gebräuchliche Basen.

Bei einem Stellenwertsystem wird ein Ziffernsystem mit genau ${\displaystyle b}$ verschiedenen Ziffern verwendet. Bei den verbreitetsten Ziffernsystemen steht eine Ziffer der unten angegebenen Art für einen ganzzahligen Ziffernwert ${\displaystyle \in \{0,1,\ldots ,b-1\}}$.^[9][10] Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in der festgelegten Reihenfolge zur Ziffer mit dem nächsthöheren Wert übergegangen; bei den wenigen vorhandenen Ziffern wären aber nur wenige Zählschritte möglich. Deshalb wird bei der höchstwertigen Ziffer durch Addition einer Eins auf die niedrigstwertige Ziffer übergegangen und auf der nächsthöheren Stelle eine Eins addiert. Bei einem Übertrag auf eine nicht besetzte Stelle wird diese vorab mit einer Null besetzt; bei einer nicht begrenzten Anzahl von Stellen lässt sich dadurch das Zählen unbeschränkt fortsetzen.

In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern verwendet und ihnen ein Ziffernwert zugewiesen (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Werte normal gedruckt):

• Im Dualsystem werden die beiden Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen 0 und 1 zugeordnet.
• Im Dezimalsystem werden die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen von 0 bis 9 in der konventionellen Reihenfolge zugeordnet.
• Im Hexadezimalsystem werden die sechzehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F verwendet und ihnen jeweils die Werte der Dezimalzahlen von 0 bis 15 zugeordnet.

Ist die Basis noch größer, kann es zu einer Kombination weniger Ziffern in einem weiteren Zahlensystem kommen. So werden im babylonischen Sexagesimalsystem mit ${\displaystyle b=60}$ statt 60 verschiedener Ziffern die Dezimalzahlen von 1 bis 59 wie Ziffern benutzt. (Die Ziffer 0 war zur Blütezeit des Sexagesimalsystems noch nicht erfunden; für ein „Nichts“ wurde nichts geschrieben.) – IP-Adressen im IPv4-Format umfassen 4 Stellen zur Basis ${\displaystyle b=256}$; statt Ziffern werden ihrem Wert entsprechende Dezimalzahlen von 0 bis 255 geschrieben und durch einen Punkt getrennt, beispielsweise 192.0.2.42. – Eine andere Art der Zuordnung von Ziffer zu Ziffernwert wurde bei der Codierung Base64 gewählt.

Mitunter werden anstatt Ziffern auch andere Symbole verwendet; beispielsweise werden in der Elektronik oft die beiden Zustände eines Dualsystems nicht mit 0 und 1 beschrieben, sondern es werden stattdessen H und L (für „High“- und „Low“-Logikpegel) verwendet (selten O und L für „On“ und „Low“ – „Ein“ und „Aus“).

Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Ziffernfolge. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eine Stelle.^[9] Jeder Stelle wird ein Stellenwert zugewiesen, der einer Potenz der Basis entspricht. Die Stelle mit dem niedrigsten Stellenwert steht dabei ganz rechts.^[11] Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:

• Der Stellenwert der ersten Stelle von rechts („Einerstelle“) ist ${\displaystyle 10^{0}=1}$.
• Der Stellenwert der zweiten Stelle von rechts („Zehnerstelle“) ist ${\displaystyle 10^{1}=10}$.
• Der Stellenwert der dritten Stelle von rechts („Hunderterstelle“) ist ${\displaystyle 10^{2}=100}$, und so weiter.

Für das Weitere erweist sich als vorteilhaft, die Stellen nicht ab eins, sondern ab null zu nummerieren. Auf diese Weise hat dann die ${\displaystyle i}$-te Stelle gerade den Stellenwert ${\displaystyle b^{i}}$. Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.

Natürliche Zahlen werden in der ${\displaystyle b}$-adischen Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form

${\displaystyle \mathbf {a} _{n}\ldots \mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{0}}$

dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl mit dem Zahlenwert ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot b^{0}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{2}\cdot b^{2}+\dotsb +a_{n}\cdot b^{n}}$

zugeordnet, wobei ${\displaystyle a_{i}}$ der der Ziffer ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ zugewiesene Ziffernwert ist.

Der Wert ${\displaystyle n}$ der Ziffernfolge gehört zum Laufindex der höchstwertigen Stelle, auf der ${\displaystyle a_{i}>0}$ ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Zahlenwert ${\displaystyle Z}$ ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu, beliebig oft die Ziffer 0 = 0 auf höherwertigen Stellen voranzustellen. Werden Folgen mit führender 0 verboten, so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert ${\displaystyle Z}$ ist. Als Ausnahme von diesem Verbot wird der Zahl null nicht die leere Folge (also die Folge ohne ein einziges Glied) zugeordnet, sondern die Folge mit genau einer Ziffer, und zwar der, welcher der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl typografisch erkennbar zu machen.

Als Beispiel für die angegebene Zahlendarstellung betrachten wir die Ziffernfolge 694 im Dezimalsystem (${\displaystyle b=10}$). Sie steht für:

${\displaystyle 4\cdot 10^{0}+9\cdot 10^{1}+6\cdot 10^{2}=694.}$

Die Ziffernfolge 2B6 im Hexadezimalsystem (${\displaystyle b=16}$) steht für ${\displaystyle a_{0}+a_{1}\cdot b+a_{2}\cdot b^{2}}$. Bei einer Zuordnung der Werte der Hexadezimalziffern auf Werte von Dezimalzahlen ${\displaystyle a_{0}}$ = 6 = 6; ${\displaystyle a_{1}}$ = B = 11; ${\displaystyle a_{2}}$ = 2 = 2 und bei weiterer Rechnung im Dezimalsystem entspricht die Folge 2B6 dem Wert der Dezimalzahl

${\displaystyle 6+11\cdot 16+2\cdot 16^{2}=6+176+512=694.}$

Entsprechend entspricht die Ziffernfolge 1010110110 im Dualsystem (${\displaystyle b=2}$) dem Wert der Dezimalzahl

${\displaystyle 0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{8}+1\cdot 2^{9}=2+4+16+32+128+512=694.}$

In einem System bestehend aus positiver Basis und rein nicht-negativem Ziffernvorrat lassen sich negative Zahlen nicht darstellen. Solchen Systemen wird ein Minuszeichen (–) beigefügt, das den Zahlzeichen ggf. vorangestellt wird. Dies geht mit einem geringen Verlust an Eineindeutigkeit einher, da die Zahl 0 als vorzeichenbehaftete Null in der Form +0, −0 oder auch ±0 geschrieben werden kann. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben (bspw., wenn die Zahl als Inkrement kenntlich gemacht werden soll). In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen (+) vorangestellt.

Die Notation wird in die negativen Exponenten der Basis erweitert, indem man die entsprechenden Stellen rechts von einem zu diesem Zweck angefügten Trennzeichen in lückenloser Folge anschließt.

Im deutschsprachigen Raum (ausgenommen Schweiz) ist hierfür das Komma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit ${\displaystyle b^{-i}}$ multipliziert, wobei ${\displaystyle i}$ die Position hinter dem Komma angibt. Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist

${\displaystyle 1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=1+0/2+1/4+1/8=1+3/8.}$

Nach der Hinzufügung des Trennzeichens lassen sich viele rationale Zahlen ${\displaystyle b}$-adisch darstellen, jedoch keineswegs alle, denn es kann vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche Folge von Nachkommastellen benötigt wird, die dann aber periodisch ist. Gewöhnlich wird diese Periode durch eine über die sich wiederholenden Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so sie Länge der Periode markiert und eine (endliche) Aufschreibung ohne Pünktchen möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:

0,00110011…₂ = 0,0011₂.

Dagegen bedeutet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (ternären) System die rationale Zahl 1·3⁻¹ = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge 0,333… = 0,3_dez entspricht.

Unter der Voraussetzung, dass 0 eine Ziffer ist und dass es zu jeder ganzen Zahl eine Ziffer gibt, deren Wert zu ihr ${\displaystyle {\text{mod }}b}$ kongruent ist^[10] (was bei Standardziffersystemen stets der Fall ist), gilt allgemein, dass ein Bruch genau dann eine endliche ${\displaystyle b}$-adische Darstellung hat, wenn nach dem Kürzen alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von ${\displaystyle b=:p_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$ (bei ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {P} }$ und ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\in \mathbb {N} }$) sind. (Für eine endliche Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein. Genau dann ist der Bruch ein Dezimalbruch im engeren Sinne oder wird durch Erweitern zu einem solchen.)

Die endlichen Darstellungen bilden den Ring

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\{x\in \mathbb {Q} \mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:xb^{i}\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {Z} b^{\mathbb {Z} }}$,

wobei ${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset \mathbb {P} }$ für die Menge der Primfaktoren von ${\displaystyle b}$ steht. Bei diesen rationalen Zahlen hat in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur Primteiler ${\displaystyle p_{i}\in S}$. Für jedes nichtleere ${\displaystyle S}$ liegt der Unterring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (wie ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ selbst) dicht sowohl in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ wie in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, d. h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ approximieren.^[12]

Betrachtet man nur Darstellungen endlicher Länge, dann bezeichnen schon die Ziffernfolgen 1, 1,0, 1,000 im Dezimalsystem allesamt dieselbe rationale Zahl 1 (ganz zu schweigen von den Darstellungen 01, 0001 mit führenden Nullen). Diese Uneindeutigkeiten lassen sich durch Verbote führender und nachklappender Nullen noch unterdrücken. Gehören jedoch die unendlichen Darstellungen von Anfang an zum System, dann kommen die nicht-abbrechende Darstellung 1,000… = 1,0 und darüber hinaus die ganz anders aussehende Darstellung 0,999… = 0,9 (alle mit dem Wert 1) hinzu, siehe dazu den Artikel 0,999….^[13]

Normalerweise sind Missverständnisse nicht zu befürchten, sodass man beide Darstellungen zulassen kann. Eindeutigkeit ist jedoch z. B. bei der Z-Kurve gefordert, die ${\displaystyle Z\,\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}}$ injektiv abbildet und bei der zwei ${\displaystyle b}$-Ziffernfolgen alternierend in eine gepresst werden. Die Unstetigkeitsstellen der Funktion ${\displaystyle Z}$ sind übrigens genau die Argumente, die eine endliche ${\displaystyle b}$-adische Darstellung haben.^[14]

Die ${\displaystyle b}$-adische Darstellung eines gekürzten Bruchs ${\displaystyle q=:z/(m\cdot n)}$ mit ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} ,m=p_{1}^{\mu _{1}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ teilerfremd zur Basis ${\displaystyle b}$ hat für ${\displaystyle n=1}$ die Periodenlänge 0, ist also endlich. Andernfalls ist ${\displaystyle b}$ ein Element der primen Restklasse ${\displaystyle [b]\in \mathbb {Z} _{n}^{*}}$, sodass ${\displaystyle b^{\varphi (n)}\equiv 1{\text{ mod }}n}$ ist (mit ${\displaystyle \varphi }$ als der eulerschen φ-Funktion). Die ${\displaystyle b}$-adische Periodenlänge des gekürzten Bruchs ${\displaystyle q}$ ist dann der kleinste Exponent ${\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=e>0}$, für den ${\displaystyle n}$ ein Teiler von ${\displaystyle b^{e}-1}$ ist. (S. a. den Abschnitt Algorithmus für rationale Zahlen und den Artikel Rationale Zahl#Dezimalbruchentwicklung.)

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.^[15]

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Die niederwertigste (letzte) Ziffer der ${\displaystyle b}$-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl ${\displaystyle Z=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}}$ ist der Rest von ${\displaystyle Z}$ bei Division durch ${\displaystyle b}$. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

${\displaystyle a_{0}=Z-b\left\lfloor {\frac {Z}{b}}\right\rfloor }$

gegeben; dabei bezeichnet ${\displaystyle \lfloor \cdots \rfloor }$ die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten ${\displaystyle i}$ Ziffern von ${\displaystyle Z}$ gebildete Zahl der Rest von ${\displaystyle Z}$ bei Division durch ${\displaystyle b^{i}}$. Die Ziffer ${\displaystyle a_{i}}$ an der ${\displaystyle i}$-ten Stelle ergibt sich zu

${\displaystyle a_{i}=\left\lfloor {\frac {Z}{b^{i}}}\right\rfloor -b\left\lfloor {\frac {Z}{b^{i+1}}}\right\rfloor .}$

Nimmt man negative Werte von ${\displaystyle i}$ hinzu, mit denen sich Nachkommastellen ergeben, dann gilt für positiv reelle Zahlen ${\displaystyle Z=\sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}\cdot b^{i}}$ die vorstehende Gleichung auch hierfür.

Für rationales ${\displaystyle 0<x=p/q<1}$ (und eine Basis ${\displaystyle b\in \mathbb {N} _{>1}}$) lässt sich die obige Formel in den folgenden Algorithmus einbetten:

function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static Ziffernvorrat = "0123..."; // bis zum Zeichen mit dem Wert b–1
begin
  s = "";  // die zu bildende Zeichenkette
  pos = 0; // hier sind alle Stellen rechts vom Komma
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // die Nummer der Stelle mit dem Rest p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = bp − z*q;    // p ganzzahlig: 0 ≤ p < q
    if p = 0 then pl = 0; return (s); end if
    s = s.substring(Ziffernvorrat, z, 1);
          // Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen.
          // substring(s, 0, 1) ist die erste Ziffer nach dem Komma
    pos += 1;
  end while
  pl = pos - occurs[p]; // die Periodenlänge (0 < pl < q)
  // Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function

Die erste gelb hervorgehobene Zeile entspricht der Ziffernberechnung des vorigen Abschnitts.

Die darauf folgende Zeile berechnet den neuen Rest ${\displaystyle p'}$ der Division modulo des Nenners ${\displaystyle q}$. Die Gaußklammer floor bewirkt, dass

${\displaystyle bp/q-1\;\;<\;\;z=\lfloor bp/q\rfloor \;\;\leq \;\;bp/q.}$

Daraus folgt ${\displaystyle bp-q<zq\;\implies \;p':=bp-zq<q}$ und ${\displaystyle zq\leq bp\;\implies \;0\leq bp-zq=:p',}$ zusammengenommen ${\displaystyle 0\leq p'<q.}$ Da somit alle Reste ${\displaystyle p}$ ganzzahlig nicht-negativ und kleiner als ${\displaystyle q}$ sind, es also nur ${\displaystyle q}$ viele verschiedene von ihnen gibt, müssen sie sich in der while-Schleife wiederholen. Die Wiederkehr eines Restes ${\displaystyle p}$ wird über die Existenz des assoziativen Datenfeldes occurs[p] festgestellt.

Die Periode der Ziffern hat dieselbe Länge wie die Periode der Reste. (Genaueres zur Periodenlänge siehe oben.)

Die Anzahl ${\displaystyle m}$ der Ziffern der ${\displaystyle b}$-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl ${\displaystyle Z\in \mathbb {N} _{0}}$ ist

${\displaystyle m={\begin{cases}1&{\text{wenn }}Z=0,\\\lfloor \log _{b}{Z}\rfloor +1\ &{\text{wenn }}Z\geq 1.\end{cases}}}$

• Hängt man an die ${\displaystyle b}$-adische Darstellung einer natürlichen Zahl ${\displaystyle Z}$ ganz rechts eine Ziffer ${\displaystyle a}$ an, ohne dass die Zahl den Charakter einer natürlichen Zahl verlieren soll, so erhält man die ${\displaystyle b}$-adische Darstellung der Zahl ${\displaystyle Z\cdot b+a}$.
• Alternativ kann die angefügte Ziffer hinter dem Trennzeichen auf die erste Nachkommastelle gelangen, und man erhält die Zahl ${\displaystyle Z+a\cdot b^{-1}}$.
• Stellt man die Ziffer ${\displaystyle a}$ hingegen ganz links ${\displaystyle Z}$ voran, so erhält man die ${\displaystyle b}$-adische Darstellung der Zahl ${\displaystyle a\cdot b^{n+1}+Z}$.

Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenschritt verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, bei dem in der Regel die Zahlenein- und -ausgabe nur im Dezimalsystem geschieht.

Insbesondere, wenn Zahlen von einem System in ein anderes zu konvertieren sind, ist es üblich und zweckmäßig, die Ziffernfolgen durch ein tiefgestelltes Suffix ${\displaystyle _{b}}$ der Basis ${\displaystyle b}$ des verwendeten Zahlensystems zu kennzeichnen. Dabei steht ein fehlendes Suffix und das Suffix ₁₀ standardmäßig für die konventionelle dezimale Darstellung, explizit auch _dez oder _dec. Die Suffixe ₂ oder _b kennzeichnen binär und ₁₆ oder _h hexadezimal dargestellte Zahlen. Ferner wird als Ziffernvorrat der Standardsatz ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,b-1\}}$ angenommen. Gelegentlich wird die gekennzeichnete Ziffernfolge in eckige Klammern gesetzt.

Es gibt zwei wesentliche Varianten

• die iterierte euklidische Division, die bei den Stellen niedriger Signifikanz beginnt, und
• die Auswertung des Ziffern-Polynoms bspw. in einer Art des Horner-Schemas. Die kleinste Anzahl von Multiplikationen wird benötigt, wenn man bei der höchstwertigen Stelle beginnt.

Die Auswahl richtet sich am besten danach, welches Verfahren auf dem vorhandenen Kalkulator am einfachsten durchgeführt werden kann.

Eine Zahl hat die dezimale Darstellung 4711. Gesucht ist ihre Darstellung im Zwölfersystem.

Dazu dividiert man die gegebene Darstellung schrittweise durch die neue Basis 12. Die verbleibenden Reste liefern die Ziffernwerte zur Basis 12. Dabei liefert der erste Rest den Ziffernwert zum niedrigsten Stellenwert der gesuchten neuen Darstellung (in diesem Fall zum Stellenwert 12⁰), der zweite Rest liefert den Ziffernwert zum zweitniedrigsten Stellenwert (hier 12¹) usw. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• 4711 geteilt durch 12 ergibt 392 Rest 7 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12⁰ im Ergebnis)
• 0392 geteilt durch 12 ergibt 032 Rest 8 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12¹ im Ergebnis)
• 0032 geteilt durch 12 ergibt 002 Rest 8 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12² im Ergebnis)
• 0002 geteilt durch 12 ergibt 000 Rest 2 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12³ im Ergebnis)

Alternativ wird mit der Ziffer zum höchsten vorhandenen Stellenwert begonnen:

Als Duodezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich 2887₁₂. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Bezüglich des Hexadezimalsystems mit den Ziffern 0, 1, …, 9, A (Wert 10), B (Wert 11), C (Wert 12), D (Wert 13), E (Wert 14) und F (Wert 15) habe eine Zahl die Darstellung AFFE. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Zehnersystem.

Dazu multipliziert man die Ziffern der gegebenen Darstellung mit den jeweiligen Stellenwerten und addiert die Ergebnisse auf. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• Ziffer A mal ${\displaystyle 16^{3}}$ ergibt 40960
• Ziffer F mal ${\displaystyle 16^{2}}$ ergibt 03840
• Ziffer F mal ${\displaystyle 16^{1}}$ ergibt 00240
• Ziffer E mal ${\displaystyle 16^{0}}$ ergibt 00014

Als Dezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich ${\displaystyle 40\,960+3840+240+14=45\,054}$.

Alternativ wird schrittweise mit der Basis 16 multipliziert und die jeweils nächste Ziffer hinzugenommen:

Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Bezüglich des Zehnersystems habe eine Zahl die Darstellung 0,1. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Dualsystem.

Hierzu wird der Nachkommaanteil wiederholt mit der Basis des Zielsystems multipliziert. Tritt dabei ein Wert größer 1 auf, wird dessen ganzzahliger Anteil der Reihe der Nachkommastellen hinzugefügt, andernfalls wird eine 0 den Nachkommastellen hinzugefügt. Tritt eine ganze Zahl als Multiplikationsergebnis auf, ist der Nachkommabetrag vollständig bestimmt, oft wird jedoch auch eine Periode auftreten.

Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• 0,1 mal 2 ergibt 0,2 , die erste Nachkommastelle ist also die 0
• 0,2 mal 2 ergibt 0,4 , die zweite Nachkommastelle ist also die 0
• 0,4 mal 2 ergibt 0,8 , die dritte Nachkommastelle ist also die 0
• 0,8 mal 2 ergibt 1,6 , die vierte Nachkommastelle ist also die 1
• 0,6 mal 2 ergibt 1,2 , die fünfte Nachkommastelle ist also die 1
• 0,2 mal 2 (muss nicht mehr ausgeführt werden, da eine Periode aufgetreten ist)

Als Ergebnis erhalten wird somit 0,0001100110011…

Besondere Stellenwertsysteme sind die balancierten. Sie haben immer eine ungerade Basis ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$ und verwenden sowohl natürliche als auch negative Ziffernwerte, nämlich die aus der Menge ${\displaystyle \{-{\tfrac {b-1}{2}},\dotsc ,-1,0,1,\dotsc ,{\tfrac {b-1}{2}}\}}$. Häufig werden die negativen Ziffern durch einen Unterstrich gekennzeichnet. So wird z. B. im balancierten Ternärsystem eine Zahl durch die Ziffern 1, 0, und 1 dargestellt, welchen die Werte −1, 0 und 1 zugeordnet sind.

Ein balanciertes Stellenwertsystem hat folgende Eigenschaften:

• Das Negative einer Zahl erhält man durch Austausch einer jeden Ziffer mit ihrem inversen Gegenüber.
• Die erste von 0 verschiedene Stelle zeigt das Vorzeichen an. Das System kommt also ohne ein separates Vorzeichen aus.
• Eine Rundung zur nächsten ganzen Zahl geschieht durch einfaches Abschneiden beim Komma.

Die Darstellung der ganzen Zahlen ist eindeutig.

Es gibt aber rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu ${\displaystyle \mathbf {t} :={\tfrac {b-1}{2}}}$ die größte Ziffer und ${\displaystyle {\underline {\!\!\mathbf {t} \!\!}}:=-\mathbf {t} }$ die kleinste, dann ist bspw.

${\displaystyle 0{,}{\overline {\mathbf {t} }}\;=\;1{,}{\overline {\underline {\!\!\mathbf {t} \!\!}}}\;=\;{\frac {1}{2}}.}$

Bei positiver Basis ${\displaystyle b\in \mathbb {N} \!\setminus \!\!\{\!1\!\}}$ hängt die Ordnungsrelation der reellen Zahlen eng zusammen mit der lexikographischen Ordnung der diese Zahlen darstellenden ${\displaystyle b}$-adischen Zeichenketten.^[19] Genauer:

• Es gibt einen Ordnungshomomorphismus (eine ordnungserhaltende Abbildung) ${\displaystyle \omega }$, der die beliebig (auch unendlich) langen Zeichenketten auf ${\displaystyle b}$-adische Weise in ein reelles Intervall abbildet.
• Für kein ${\displaystyle b}$-adisches System ist ${\displaystyle \omega }$ injektiv.^[20]
• Welche reellen Zahlen mehrere Darstellungen (mehrere Urbilder) haben, hängt von den Ziffernwerten des zugehörigen Ziffernsystems ${\displaystyle \Sigma }$ ab. Ihre Menge ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen, hat also abzählbare Mächtigkeit. Sie liegt dicht im Bildintervall.^[21]

Eine naheliegende Verallgemeinerung ist, verschiedene Basen für die verschiedenen Ziffernpositionen zu wählen. Man spricht dann von Zahlensystemen mit gemischten Basen. Ein paar interessante Beispiele sind:

• alternierend a oder b, wobei a und b zwei verschiedene natürliche Zahlen > 1 sind^[22]
• 2 oder 3, aber in der Reihenfolge, sodass ${\displaystyle e^{k}}$ am „relativ engsten“ approximiert wird mit dem Produkt der ersten k Basen
• als Basis werden die natürlichen Zahlen > 1 der Reihe nach genutzt („Fakultätsbasis“)

• die Primzahlen der Reihe nach oder jene (sich dann wiederholenden) Primzahlen, die mit jeder nächstgrößeren Primzahlpotenz auftreten (s. a. Darstellung der proendlichen Zahlen mit mehreren Basen)

In den beiden letzten Fällen hat man im Prinzip unendlich viele verschiedene Ziffernsymbole bereitzustellen.^[23]

Auch die Darstellung von Datum und Uhrzeit hat traditionell mehrere Basen und Ziffernsysteme. Im hiesigen Kontext sei als einziges Exempel die folgende im angelsächsischen Sprachraum gebräuchliche Darstellung

[1-12] [1–31] [0–9]^[2,4,*] [1-12] [am,pm] [0–59] [0–59] [0–9]^*

angeführt, bei der zudem die Reihenfolge von Jahr-, Monat- und Tagangaben einerseits sowie Halbtag und Stunde andererseits entgegen der Rangfolge vertauscht sind.^[24] Hier finden also die Basen 2, 10, 12, 28–31 und 60 Verwendung. Insbesondere ist bemerkenswert, dass sich die Basis der Tagesstelle nach dem Wert der Monatsstelle richtet.

Die Basis ${\displaystyle b}$ muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche (auch komplexe) Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden.

Stellenwertsysteme mit negativen Basen ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle b\leq -2}$ kooperieren mit denselben Ziffernvorräten wie ihre positiven Entsprechungen ${\displaystyle -b\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle r:=|b|}$ wird oft als Radix bezeichnet. Sie werden häufig mit der Vorsilbe nega- gekennzeichnet, bspw. das negadezimale, negabinäre, negaternäre usw. Stellenwertsystem.

Diese Stellenwertsysteme kommen ohne ein extra Vorzeichen aus. Andererseits benötigen die Darstellungen häufig eine, in manchen Fällen sogar zwei Stellen mehr, als im entsprechenden System mit positiver Basis, wie das Beispiel ${\displaystyle 999_{10}=19019_{-10}}$ zeigt. Ferner sind die arithmetischen Operationen, insbesondere der arithmetische Vergleich und die Bildung des Absolutbetrags, etwas komplexer.

Ist der Ziffernvorrat minimal, bspw. ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,-b\!-\!\!1\}}$, dann sind alle ganzen Zahlen eindeutig darstellbar. Wie bei den positiven Basen gibt es rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu

${\displaystyle T:=0{,}{\overline {01}}_{b}=\sum _{i=1}^{\infty }b^{-2i}={\frac {1}{b^{2}-1}}}$

und ${\displaystyle \mathbf {t} :=-b\!-\!\!1}$ die größte Ziffer, dann ist sowohl

${\displaystyle 0{,}{\overline {0\mathbf {t} }}_{b}=\mathbf {t} T={\frac {-b\!-\!\!1}{b^{2}-1}}={\frac {1}{-b+1}}}$

als auch

${\displaystyle 1{,}{\overline {\mathbf {t} 0}}_{b}=1+\mathbf {t} bT={\frac {(b^{2}-1)+(-b\!-\!\!1)b}{b^{2}-1}}={\frac {1}{-b+1}}.}$

Will man alle reellen Zahlen darstellen, dann muss bei nicht-ganzzahliger oder irrationaler Basis ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} }$ die Minimalgröße des Ziffernsystems ${\displaystyle \lceil |b|\rceil }$ (Betragsstriche und Gaußklammern) sein. Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler Zahlen nicht.

Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ als Basis und ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$ als Ziffernvorrat verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form ${\displaystyle s+t\cdot {\sqrt {5}}}$ mit rationalen ${\displaystyle s,t}$ dar. Trotzdem hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung.

Eine ebenfalls auf dem Goldenen Schnitt basierende Darstellung ist die Zeckendorf-Darstellung, bei der allerdings nicht die Potenzen von ${\displaystyle \Phi }$, sondern die Fibonacci-Zahlen als Stellenwerte genommen werden.

Das erste Zahlsystem, das eine komplexe Zahl nicht als zwei separate Ziffernfolgen – je eine für Real- und eine für Imaginärteil – darstellt, sondern eine komplexe Zahl als eine einzige Ziffernfolge, war das von D. Knuth 1955 vorgeschlagene „quater-imaginäre“ System.^[25] Es hat ${\displaystyle 2\mathrm {i} }$ als Basis und 0, 1, 2, 3 als Ziffern. Dort ist bspw. ${\displaystyle -1=103_{2\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle \mathrm {i} =10{,}2_{2\mathrm {i} }}$.

Ein anderes System wurde 1964 von S. Khmelnik vorgeschlagen und für Digitalmaschinerie ausgearbeitet.^[26] Es hat ${\displaystyle \mathrm {i} -1}$ als Basis und 0, 1 als Ziffern. Bspw. ist ${\displaystyle -1=11101_{\mathrm {i} -1}}$ und ${\displaystyle \mathrm {i} =11_{\mathrm {i} -1}}$.

Die hier vorgestellten Stellenwertsysteme beruhen auf der Konvergenz in Bezug auf die Metrik des gewöhnlichen archimedischen Absolutbetrags. Die unendlichen Reihen – die hier immer, und zwar „rechts“ bei den kleinen Potenzen der Basis (Exponenten ${\displaystyle \searrow -\!\infty }$), konvergieren – sind dann reelle (oder komplexe) Zahlen. Es gibt aber für die rationalen Zahlen auch Metriken, die auf nichtarchimedischen Betragsfunktionen basieren und eine ganz ähnliche Notation mit Basis und Ziffernvorrat gestatten. Die unendlichen Reihen – die auch dort immer, und zwar der Konvention nach „links“ bei den großen Potenzen (Exponenten ${\displaystyle \nearrow +\!\infty }$), konvergieren – sind p-adische Zahlen.

Zwar stimmen endliche ${\displaystyle p}$-adische Ausdrücke mit derselben Ziffernfolge in (dann ebenfalls endlicher) ${\displaystyle p=:b}$-adischer Darstellung überein, es gibt aber gravierende Unterschiede zu den ansonsten hier vorgestellten (archimedischen) Systemen. Die wichtigsten sind:

1. Die ${\displaystyle p}$-adischen Darstellungen sind immer (umkehrbar) eindeutig.
2. Ein Vorzeichen wird nicht benötigt. Die Darstellung von ${\displaystyle -1}$ als unendliche Summe ist ${\textstyle -1=\sum _{i=0}^{\infty }(p-1)\cdot p^{i}}$.
3. Ein ${\displaystyle p}$-adischer Ring kann nicht angeordnet werden.
4. Ist ${\displaystyle p}$ zerlegbar, also keine Primzahl, dann enthält der ${\displaystyle p}$-adische Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ Nullteiler (die allesamt nicht-abbrechende Darstellungen haben). Einzelheiten in Proendliche Zahl#10-adische Zahlen.
5. Die nicht-abbrechenden Reihen stellen in beiden Systemen Zahlobjekte mit völlig verschiedenen arithmetischen Eigenschaften dar. Die periodischen unter ihnen stellen in beiden Systemen rationale Zahlen dar.
6. Alle Algorithmen für die Grundrechenarten beginnen rechts bei den kleinen Exponenten (möglicherweise negativ, aber ${\displaystyle >-\!\infty }$) und laufen wie die Potenzen und Überträge in die gleiche Richtung nach links zu den großen Exponenten. Wenn die Rechnung abgebrochen wird, kann sofort die Größe des Fehlers angegeben werden.

Der Artikel Teilbarkeit erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist. Die Cantorsche Normalform verallgemeinert die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem auf Ordinalzahlen.

Ein Beispiel zur Anwendung zeigt die Berlin-Uhr.

• Donald Knuth: The Art of Computer Programming. 3. Auflage. Band 2. Addison-Wesley, Boston 1998, ISBN 0-201-89684-2, Positional Number Systems, S. 194–213 (englisch). 
• Marko Petkovšek: Ambiguous Numbers are Dense. In: American Mathematical Monthly. Band 97, Nr. 5, Mai 1990, S. 408–411, doi:10.2307/2324393 (englisch). 

Wiktionary: Stellenwertsystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme (JavaScript)
• Umrechner für die Basen 2, 8, 10 und 16
• „Opas“ Stellenwertsystem des Tiroler Volksschullehrers Anton Haag
• Video: Stellenwertsysteme (Teil 1). Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19902.
• Video: Stellenwertsysteme (Teil 2). Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19903.

1. ↑ Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch. 7. Auflage. Springer Vieweg, 2015, S. 5.
2. ↑ Hadwig Dorsch, Ehrhard Behrends: Wie die Ausstellung Mathema entstand in Ist Mathematik die Sprache der Natur? Von der Keilschrift bis zu den Grenzen der Erkenntnis. Spektrum der Wissenschaft, 2013.
3. ↑ Albrecht Beutelspacher: Kleines Mathematikum. 3. Auflage. Verlag C. H. Beck, 2010, S. 38.
4. ↑ Friedhelm Padberg, Andreas Büchter: Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik. 2. Auflage. Springer, 2015, S. 24.
5. ↑ Glen Van Brummelen: Decimal fractional numeration and the decimal point in 15th-century Italy. In: Historia Mathematica. 17. Februar 2024, ISSN 0315-0860, doi:10.1016/j.hm.2024.01.001 (sciencedirect.com [abgerufen am 11. März 2024]). 
6. ↑ Guido Walz: Stellenwertsystem. In: Lexikon der Mathematik. Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH, 2017, abgerufen am 3. August 2023. 
7. ↑ Der Fall ${\displaystyle b=1}$ bedeutet einen nur aus einem einzigen Element bestehenden Ziffernvorrat, sodass als Unterscheidungsmerkmal zwischen zwei Darstellungen nur ihre Länge in Frage kommt. Das führt im besten Fall zum Unärsystem, einem nicht so mächtigen Darstellungssystem, welches nicht als Stellenwertsystem gilt, da der Stellenwert einer Ziffer unabhängig von ihrer Position immer gleich ist.
8. ↑ DIN 1333, Zahlenangaben, 1992, Kap. 8.
9. ↑ ^{a b} DIN 1333, Zahlenangaben, 1992, Kap. 10.1
10. ↑ ^{a b} Interessant sind auch Ziffernsysteme mit negativen Ziffernwerten, insbesondere die balancierten Stellenwertsysteme. Eher exotisch sind die Systeme von David W. Matula (zitiert nach #Knuth1 S. 210f).
    Alle enthalten jedoch die Null, da sonst die Null selbst nicht darstellbar ist und eine abgebrochene Darstellung sich um mehr als den kleinsten Stellenwert von der genauen Zahl unterscheidet.
11. ↑ Eine solche Notation mit von links nach rechts absteigender Wertigkeit ist in der Datenverarbeitung im Format Big-Endian beibehalten worden.
12. ↑ Im Fall ${\displaystyle S=\{p\}}$ für ein ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}}$ nicht mit dem diskreten Bewertungsring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Z} _{S'}}$ mit ${\displaystyle S':=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$ zu verwechseln, der auch dicht liegt in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, dessen eingeprägte Bewertung aber zur völlig anderen Vervollständigung, nämlich den p-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ führt.
13. ↑ Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis ${\displaystyle b\in \;\mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}}$ und jedem „vernünftigen“ Ziffernsystem auf. Für ${\displaystyle b>0}$ siehe den Abschnitt #Lexikographische Ordnung, für ${\displaystyle b<0}$ den Abschnitt #Negative Basen, jeweils mit Beispielen für Zahlen mit mehrfacher Darstellung.
14. ↑ Ganz ähnlich verhält es sich bei der Hilbert-Kurve.
15. ↑ Ihr Maß ist 0 und damit auch der Zahlen mit mehrfacher Darstellung.
16. ↑ Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik – Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 26 ff., 30. 
17. ↑ Gisa Eysen: „Untersuchungen zu Strukturen von Zahlwortsystemen.“ Verlag Dr. Kovač, Hamburg 2008, ISBN 978-3-8300-4062-0, S. 174.
18. ↑ Levi Leonard Conant: The Number Concept. Etext, Project Gutenberg (englisch)
19. ↑ Bei vor dem Trennzeichen gleich langen Zeichenketten entsprechen sich die Ordnungen exakt – auch bei gemischt negativen Ziffern; nicht jedoch bei einer Darstellung im kleinendigen (little-endian) Format und auch nicht bei negativen Basen.
20. ↑ Gleichwohl injektiv, wenn eingeschränkt auf die kleenesche Hülle ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ (Zeichenketten endlicher Länge).
21. ↑ Petkovšek p. 408
22. ↑ Wie oben bei den Zweierpotenzen kann eine solche Darstellung als „Sonderfall“ einer ab-adischen aufgefasst werden.
23. ↑ Ist jeder Position eine eigene Ziffer (oder mehrere) zugeordnet, hat man im Ergebnis ein Additionssystem.
24. ↑ An Zyklen der realen Welt angelehnt sind dabei nur Tag, Monat und Jahr (deren Inkommensurabilität mit einem beträchtlichen organisatorischen Aufwand (z. B. durch Einführung eines Schaltjahres) aufgefangen wird). Alle anderen Eigenwilligkeiten der Darstellung sind menschliche, mit einer außerordentlichen Beständigkeit behaftete Artefakte.
25. ↑ Donald Knuth: An imaginary number system. In: Communications of the ACM. 3. Jahrgang, Nr. 4, April 1960. 
26. ↑ S.I. Khmelnik: Specialized digital computer for operations with complex numbers. In: Questions of Radio Electronics (in Russian). XII. Jahrgang, Nr. 2, 1964.