Reihe (Mathematik)
Eine Reihe, selten Summenfolge oder unendliche Summe, und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, wie etwa
Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe konvergiert, sich die unendlich lange Summe also langfristig einem festen Wert immer weiter annähert. In etwa konvergiert die obere Beispielreihe gegen den Wert (siehe Bild). Allgemein wird eine Reihe mit bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den Grenzwert.
Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind. Wenn man die Zahl 0 zur Indexmenge zählt, ist die -te Partialsumme die Summe der ersten (von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt.
Einführung: Unendliche Summierbarkeit und erste Beispiele
Unter einer Reihe versteht man, veranschaulicht, eine niemals endende Summe von Zahlen. Die Dezimalschreibweise einer reellen Zahl kann zum Beispiel als Reihe aufgefasst werden, etwa
oder auch
mit der Kreiszahl . Die durch die Punkte angedeuteten Summen enden niemals, da die Dezimalentwicklung von periodisch und die Kreiszahl irrational ist. Es gibt Reihen, denen kein Wert zugeordnet werden kann, etwa
aber auch solche, die gegen einen Grenzwert konvergieren (wie die oberen Beispiele mit Grenzwerten bzw. ).
Darüber hinaus treten Reihen in vielen Bereichen der Mathematik auf, und besitzen zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten. Klassischerweise treten sie dann in Erscheinung, wenn mathematische Terme beliebig gut angenähert werden sollen oder die Entwicklung (theoretisch) nicht endender Prozesse analysiert wird. Auch in der Physik spielen Reihen eine wichtige Rolle.
Definition und Grundlagen
Begriff
Eine Reihe wird selten Summenfolge[1] oder unendliche Summe[2][3] und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt.[4]
Für reelle und komplexe Folgen
Ist eine beliebige reelle (oder komplexe) Folge gegeben, kann man aus ihr eine neue Folge der Partialsummen bilden. Die -te Partialsumme ist die Summe der ersten Glieder von , ihre Definition lautet:
Die Folge der -ten Partialsummen heißt Reihe.
Zu bemerken ist, dass aus der Definition folgt, dass andersherum jede Zahlenfolge zu einer Reihe wird, wenn man diese als Partialsummen der Folge auffasst. Eine Reihe ist also nichts anderes als eine Folge spezieller „Bauart“, deren Glieder rekursiv durch und definiert sind. Allerdings führt die einfache rekursive Struktur der Reihen zu vergleichsweise sehr handlichen Konvergenzkriterien, siehe unten.[5]
Konvergenz
Obwohl Reihen auch als formale Objekte studiert werden können, also „ohne Wert“, sind in der Mathematik die Fälle von besonderem Interesse, in welchem sich die Reihe langfristig einem ganz bestimmten Wert annähert. Falls die Reihe , also die Folge der Partialsummen
konvergiert, so nennt man ihren Grenzwert
den Wert der Reihe oder die Summe der Reihe.[6] Dieser ist eindeutig bestimmt und wird meistens als notiert.[5]
Anschaulich bedeutet Konvergenz, dass sich eine Folge auf Dauer einer reellen oder komplexen Zahl beliebig nah annähert. Da der Umgang mit „dem Unendlichen“ zunächst nicht sinnvoll ist, umgeht man diese Schwierigkeit, indem man den Konvergenzbegriff mit endlichen Mitteln erklärt. Die Reihe nennt man dann konvergent gegen den Grenzwert , wenn es zu jeder noch so kleinen Zahl einen Index gibt, so dass für alle noch größeren Indizes
erfüllt ist. Hat eine Reihe etwa den Grenzwert , so besagt die Wahl , dass alle bis auf endlich viele Partialsummen
zwischen und liegen. Ebenso lässt sich mit - ab einem gewissen Index liegen also alle Partialsummen zwischen und - usw., verfahren. In den meisten Fällen ist dieses Kriterium für Konvergenz jedoch nicht brauchbar, da bereits ein Grenzwert bekannt sein muss, um es überhaupt anwenden zu können. Es ist im Allgemeinen jedoch überaus schwierig, den Grenzwert einer konvergenten Reihe anzugeben. Dies kann aber leicht umgangen werden, denn es kann gezeigt werden, dass eine Reihe genau dann konvergiert, wenn es für jede Zahl einen Index gibt, so dass für alle größeren Indizes bereits
gilt.[7] Man bezeichnet dies als das Cauchy-Kriterium, und es kommt ohne Verwendung eines expliziten Grenzwertes aus.
Bedingte und absolute Konvergenz
Es gibt unterschiedliche Arten der Konvergenz. Dies betrifft nicht die Konvergenzdefinition, die stets dieselbe ist, sondern die „Güte“ der Konvergenz. So kann man zwei Typen konvergenter Reihen angeben: Jene, die gewissermaßen „stabil“ konvergieren, und solche, bei denen größere Vorsicht geboten ist, etwa bei der Umordnung von Summanden.
Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn auch die zugehörige Reihe der Absolutbeträge konvergiert. Durch das Nehmen der Beträge vergisst man alle möglichen Vorzeichen bzw. Ausrichtungen der , was Konvergenz erschwert, da dann kein Wegkürzen mehr möglich ist. Etwa ist die alternierende Reihe
konvergent, nicht aber
Es ist ein erstes Beispiel einer bedingt konvergenten Reihe, also eine, die nicht absolut konvergiert. Aus mathematischer Sicht ist absolute Konvergenz ein Vorteil, da dies das Rechnen mit Reihen vereinfacht. Etwa ist es im Falle bedingter Konvergenz nicht ohne Weiteres erlaubt, die Reihenfolge der Summanden zu ändern, ohne dabei möglicherweise den Grenzwert zu verändern. Damit entfällt bei bedingt konvergenten Reihen das noch für endliche Summen gültige Kommutativgesetz.
Überblick zu den Anwendungen
Das Konzept der Reihe spielt disziplinübergreifend eine zentrale Rolle in der Mathematik. Hauptanwendungsgebiet ist zunächst die Analysis, jedoch auch alle durch diese Sparte beeinflussten Bereiche, nicht zuletzt angewandte Gebiete wie die Ingenieurswissenschaften. Dabei entfalten Reihen ihre Nützlichkeit zum Beispiel dann, wenn es darum geht, bestimmte Funktionen annähernd auszurechnen, die für Anwendungen zwar nützlich aber dennoch kompliziert sind. Ein Beispiel sind die Winkelfunktionen, etwa der Sinus. Es gibt kein einfaches, „geschlossenes“ Verfahren, für Eingabewerte den Ausgabewert zu berechnen, aber mittels Reihen können gute Näherungswerte relativ schnell berechnet werden, die in der Praxis ausreichen. Es gilt die Reihenentwicklung
kurz:
Etwa ist , und wegen für alle , als Näherung bis zum -Term
Notationshinweise
Für Reihen gibt es je nach Kontext unterschiedliche Notationen. In diesem Artikel werden als Indizes für die Glieder von Folge und Reihe die natürlichen Zahlen einschließlich der Null verwendet. Bei manchen Anwendungen ist es zweckmäßig, die Summation erst beim Index 1, 2 oder höher zu beginnen, selten kommen auch negative Indizes vor (siehe Laurent-Reihe). Mit Hilfe des Summenzeichens können die einzelnen Glieder der Reihe auch abgekürzt als
geschrieben werden. Ebenso geht man bei der Folge der Einzelglieder vor und schreibt kurz
Gelegentlich werden ein Teil oder alle Indizes weggelassen, wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind. Ist etwa wie hier im Kontext von Berechnungen mit unendlichen Reihen klar, dass generell bei 0 zu nummerieren angefangen wird, so steht
- für
Semantik
Dem Symbol
kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss. Einmal steht das Symbol für den Wert der Reihe, der im Fall konvergenter Reihen existiert oder im Fall divergenter Reihen nicht existiert:
- .
Andererseits repräsentiert das Symbol die Reihe als Folge der Partialsummen, unabhängig vom Konvergenzverhalten:
- .
Fast immer ist mit dem Symbol der Grenzwert gemeint. Wenn man die Folge der Partialsummen meinen möchte, benutzt man Wendungen wie „…die Reihe, betrachtet als Folge ihrer Partialsummen,…“
Geschichte
Anfänge im 17. Jahrhundert
Reihen wurden in der Mathematik hauptsächlich eingeführt, um geometrische Probleme zu lösen. Ihre zunächst eher sporadische Verwendung gewann um 1650 an Bedeutung und war zum Beispiel entscheidend für die Entstehung der Infinitesimalrechnung. Besonders zu Zeiten von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz wurden viele Ergebnisse erzielt, und ein großer Teil des frühen Wissens um die Reihen geht auf sie zurück.[8]
Obwohl Reihen schon früher gelegentlich vorkamen, wurden sie in der Mathematik erst ab dem 17. Jahrhundert wirklich bedeutsam. Ihre Verwendung erfolgte vor allem im Zusammenhang mit dem Problem der Quadratur und der Abmessung von Kurven durch Einteilung in lineare Segmente (siehe auch Rektifizierbarkeit). Im 17. Jahrhundert versuchten die Mathematiker, neue Methoden für die Quadratur gekrümmter Linien zu finden, die die Schwierigkeiten der so genannten Exhaustionsmethode vermeiden.[9]
Rechnen mit Reihen
Im Gegensatz zu gewöhnlichen (endlichen) Summen gelten für Reihen einige übliche Regeln der Addition nur bedingt. Man kann also nicht bzw. nur unter bestimmten Voraussetzungen mit ihnen wie mit endlichen Summenausdrücken rechnen. Es stellen sich grundsätzlich die Fragen:
- Wie kann man Reihen addieren, und wie wirkt sich das auf Konvergenz und Grenzwerte aus?
- Wie kann man Reihen multiplizieren, und wie wirkt sich das auf Konvergenz und Grenzwerte aus?
Summen und Vielfache
Man kann konvergente Reihen gliedweise addieren, subtrahieren oder mit einem festen Faktor (aber nicht einer anderen Reihe) multiplizieren (vervielfachen). Die resultierenden Reihen sind ebenfalls konvergent, und ihr Grenzwert ist die Summe bzw. Differenz der Grenzwerte der Ausgangsreihen bzw. das Vielfache des Grenzwertes der Ausgangsreihe. D. h.
- ,
wenn und .[10]
Produkte
Man kann absolut konvergente Reihen gliedweise miteinander multiplizieren. Die Produktreihe ist ebenfalls absolut konvergent und ihr Grenzwert ist das Produkt der Grenzwerte der Ausgangsreihen. D. h.
Da die Schreibweise (auf der linken Seite der Gleichung) der Produktreihe mit zwei Indizes in bestimmten Zusammenhängen „unhandlich“ ist, wird die Produktreihe auch in Form des Cauchyprodukts geschrieben. Der Name ergibt sich daraus, dass die Glieder der Produktreihe mit Hilfe des cauchyschen Diagonalverfahrens gebildet werden, dabei werden die Glieder der Ausgangsfolgen in einem quadratischen Schema paarweise angeordnet, und die (durchnummerierten) Diagonalen dieses Schemas bilden die Produktglieder. Für die Produktreihe braucht man dann nur noch einen einzelnen Index. Die Produktreihe hat dann die folgende Form:
Rechnen innerhalb der Reihe
Klammerung (Assoziativität)
Man kann innerhalb einer konvergenten Reihe die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen. Man kann also beliebig viele Klammern in den „unendlichen Summenausdruck“ einfügen, man darf sie nur nicht innerhalb eines (aus mehreren Termen zusammengesetzten) Gliedes setzen. Der Wert der Reihe ändert sich durch die zusätzlich eingefügte Klammerung dann nicht.
Dies gilt für divergente Reihen im Allgemeinen nicht, was man leicht am folgenden Beispiel erkennt: Die Reihe
divergiert, während die beklammerte Reihe
gegen Null konvergiert und die anders beklammerte Reihe
gegen noch eine andere Zahl konvergiert.[11]
Andererseits kann man aber keine Klammern ohne Weiteres weglassen. Man kann das aber immer dann, wenn die resultierende Reihe wieder konvergent ist. In diesem Falle bleibt auch der Reihenwert unverändert: Sind die Glieder einer konvergenten Reihe selbst in Summenform (mit und ), so „darf“ man die sie umschließenden Klammern genau dann weglassen, wenn die dadurch entstehende neue Reihe wieder konvergiert.[12]
Umordnung (Kommutativität)
Eine Umordnung einer Reihe wird durch eine Permutation ihrer Indexmenge dargestellt. Ist die Indexmenge zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen mit Null und , eine bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf sich, so heißt
eine Umordnung der Reihe
Man kann konvergente Reihen unter Beibehaltung ihres Wertes dann und nur dann beliebig umordnen, wenn sie unbedingt bzw. absolut konvergent sind. Es gilt für unbedingt (oder absolut) konvergente Reihen:
- für alle bijektiven .
Bedingt konvergente Reihen dürfen nur endlich umgeordnet werden, d. h. ab einem gewissen Index muss für die Umordnung gelten.
Konvergenzkriterien
Allgemeine Kriterien
Wenn die Reihe konvergiert, dann konvergiert die Folge der Summanden für gegen 0. Kontraponiert: Ist keine Nullfolge, so divergiert die entsprechende Reihe.[7]
Beispiel |
Es kann die Reihe nicht konvergieren, da nicht gegen 0 konvergiert. |
Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe). Das Nullfolgenkriterium wird daher in erster Linie zum Nachweis der Divergenz einer Reihe verwendet.
- Teleskopreihen
Die Teleskopreihe konvergiert genau dann, wenn die Folge gegen eine Zahl konvergiert. Der Wert der Reihe ist dann .
Wenn alle Glieder der Reihe nichtnegative reelle Zahlen sind, konvergiert und für alle zudem gilt, dann konvergiert auch die Reihe absolut, und es ist
- .
Beispiel |
Es konvergiert für alle die Reihe . In der Tat, da , folgt über die Behauptung mit dem Majorantenkriterium. |
Wenn alle Glieder der Reihe nichtnegative reelle Zahlen sind, divergiert und für alle zudem mit nichtnegativen reellen Zahlen gilt, dann divergiert auch die Reihe .
Beispiel |
Es gilt für alle . Da nun folgt die Divergenz der Reihe mit dem Minorantenkriterium. |
Es wird die Reihe mit für alle betrachtet. Dann gilt:[13]
- Falls , so ist die Reihe absolut konvergent.
- Falls , so ist die Reihe divergent.
- In den verbleibenden Fällen kann keine Aussage getroffen werden, d. h. sowohl bedingte oder absolute Konvergenz aber auch Divergenz sind möglich.
Zu einer Reihe wird die Größe betrachtet. Dann gelten folgende Aussagen:[14]
- Ist , so konvergiert die Reihe absolut.
- Ist , so ist die Reihe divergent.
- Ist , so kann keine Aussage getroffen werden, d. h. sowohl bedingte oder absolute Konvergenz aber auch Divergenz sind möglich.
- Kriterium von du Bois-Reymond und Dedekind
Dieses Kriterium kann in zwei Unterkriterien unterteilt werden.
- Es ist die Reihe konvergent, falls absolut und wenigstens bedingt konvergiert.
- Es ist die Reihe konvergent, falls außer der absoluten Konvergenz von lediglich die Beschränktheit der Partialsummen von und vorausgesetzt wird.[15]
- Gaußsches und Weierstraßsches Kriterium
Kann man den Quotienten in der Form mit einer beschränkten Folge und schreiben, so ist die Reihe im Falle konvergent, und im Falle divergent.[16]
Dieses Kriterium von Gauß kann für komplexe Folgen ausgeweitet werden, wo es als Kriterium von Weierstraß benannt ist. Erfüllen die komplexen Glieder
mit und beschränkten , so konvergiert die zugehörige Reihe genau dann absolut, wenn . Ist , so sind wenigstens die Reihen und konvergent.[17]
Kriterien unter Monotoniebedingungen
Ist eine monoton fallende Funktion mit
- für alle ,
dann konvergiert genau dann, wenn das uneigentliche Integral
existiert.
Beispiel |
Die Dirichletreihe konvergiert für und divergiert für , was mit dem Integralkriterium gezeigt werden kann. Als Funktion von aufgefasst, ergibt diese Reihe die Riemannsche Zetafunktion. |
Eine Reihe der Form
mit nichtnegativen wird alternierende Reihe genannt. Eine solche Reihe konvergiert, wenn die Folge monoton gegen 0 konvergiert.[18] Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig.
- Abel-Kriterium
Es ist die Reihe konvergent, falls die Reihe konvergiert, und die Folge monoton und beschränkt ist.[15]
- Dirichlet-Kriterium
Es ist die Reihe konvergent, falls
mit anderen Worten, die Partialsummen sind beschränkt, und eine monoton fallende Nullfolge ist.[15]
Ist eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe genau dann, wenn die Reihe konvergiert.[19]
Multiplikative Funktionen
Es ist eine multiplikative Funktion, falls für alle teilerfremden und gilt.
Es konnte Peter D. T. A. Elliott folgendes zeigen: Ist multiplikativ, so dass
existiert, und ferner
Dann gilt bereits, dass die Reihen
sämtlich konvergieren.[20]
Funktionentheoretische Mittel
- Sätze von Tauber und Littlewood
Der Satz von Tauber, bewiesen von Alfred Tauber im Jahr 1897,[21] nutzt das Randverhalten einer Potenzreihe, um ein hinreichendes Kriterium für dortige Konvergenz zu geben. Ist
für alle konvergent, existiert und gilt für , so konvergiert gegen . John Edensor Littlewood konnte dieses Resultat verbessern, indem er zeigte, dass bereits die abgeschwächte Bedingung für alle mit einer Konstante für die Aussage des Satzes hinreichend ist.[22] Es konnte auch gezeigt werden, dass diese Bedingung im allgemeinen Fall nicht weiter verbessert werden kann.[23] Wird allerdings gefordert, dass die fast alle nichtnegativ sind, kann die Bedingung der Beschränktheit von gänzlich weggelassen werden.[24]
- Kriterien von Fatou und Korevaar
Wieder habe einen Konvergenzradius von mindestens 1. Gibt es sogar eine Konstante , so dass mit , so folgt bereits[25]
Ist um holomorph fortsetzbar, und gibt es eine nicht-fallende Funktion , sodass für und für mit einer Konstanten . Gilt zudem für alle , dann konvergiert gegen , und zudem gilt[26]
- Abel-Summierbarkeit
Man nennt eine formale Reihe Abel-summierbar gegen , falls[27]
wobei die Reihe zur Linken für alle konvergiere. Es ist eine Abel-summierbare Reihe genau dann konvergent, wenn[28]
- Satz von Fatou
Der Satz Fatou besagt, dass, wenn die Potenzreihe
für alle konvergiert, und sich die Funktion in einer Umgebung des Randpunkts holomorph fortsetzen lässt, aus bereits folgt, dass konvergiert, und den Wert annimmt.[29]
Der Satz von Fatou kann, unter Umgehung der Bedingung der Holomorphie in , ausgeweitet werden. Dafür wird das Konzept des Hardy-Raums eines Gebietes benötigt. Erfüllt im Randpunkt die lokale -Bedingung, so existiert eine Zahl , sodass für in gegen eine (integrierbare) Funktion konvergiert (siehe auch Lp-Raum), also
Ist die Menge der Randpunkte , mit , an der singulär ist in dem Sinne, dass sie dort nicht die lokale -Bedingung erfüllt, eine Nullmenge, und gilt
dann konvergiert in jedem Punkt gegen , an dem der Differenzenquotient
die lokale -Bedingung in erfüllt.[30]
- Satz von Ingham
Ein im Jahr 1935 gegebener Satz von Albert Ingham war Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen von Donald Newman, der diesen mit einfachen funktionentheoretischen Mitteln beweisen konnte. Sei eine Dirichlet-Reihe
für alle mit konvergent (d. h. sie stellt in dieser offenen Halbebene eine holomorphe Funktion dar). Lässt sich nun holomorph auf eine offene Menge fortsetzen, die vollständig enthält, und sind die beschränkt, so gilt bereits für alle [31]
Für unbeschränkte ist die obere Aussage bekanntlich falsch.
Methoden zur Grenzwertbestimmung
Es existiert kein allgemeines Verfahren, den Grenzwert einer konvergenten Reihe explizit auszurechnen. In einigen Fällen lassen sich Grenzwerte auch nicht auf „elementare“ mathematische Konstanten zurückführen, etwa im Fall der Apéry-Konstante
Allerdings gibt es einige Techniken, die in speziellen Situationen die geschlossene Berechnung eines konvergenten Reihenausdrucks ermöglichen.
Abelscher Grenzwertsatz
Es sei eine konvergente Reihe. Eine Möglichkeit, ihren Grenzwert zu bestimmen, geht über die von den erzeugte Funktion. Niels Henrik Abel konnte beweisen, dass sich die Funktion
stetig nach fortsetzen lässt. Ferner gilt
Mit diesem Ansatz können manche klassischen Reihengrenzwerte berechnet werden. Beispielsweise gilt für alle mit gilt die Reihendarstellung
Mit dem Leibniz-Kriterium und der Abel-Summierbarkeit folgt damit die Leibniz-Reihe:
Ähnlich verhält es sich mit der Taylor-Reihe des natürlichen Logarithmus: Damit folgt, dass die alternierende harmonische Reihe den Grenzwert besitzt:
Fourier-Analysis
Die Grenzwertbestimmung über Fourier-Reihen ähnelt sich mit dem Grenzwertsatz von Abel insofern, als das die Reihe auch hier als Wert einer zu bestimmenden Funktion interpretiert wird. Weiß man, dass absolut konvergiert, so kann man ihren Wert als mit
auffassen. Dann ist eine 1-periodische Funktion, und die rechte Seite ihre Darstellung als Fourier-Reihe. Über die Umrechungsformel
können die Koeffizienten der Reihe aus zurückgewonnen werden. Es muss also ein „passendes“ zu den gefunden werden. Zum Beispiel findet man mit partieller Integration schnell
womit durch Einsetzen von die Antwort auf das Basler Problem folgt.[32] Ist lediglich als auf dem Intervall integrierbar vorausgesetzt, und hat die assoziierte Fourier-Reihe , so gilt außerdem die Parsevalsche Identität[33]
Gelten für geeignete Wachstumsbedingungen, ist es zum Beispiel eine Schwartz-Funktion, so gilt ferner die Poissonsche Summationsformel:
Diese ermöglicht es, eine Reihe über Funktionswerte an ganzen Stellen in jene bezüglich der Fourier-Transformierten
umzuwandeln, und umgekehrt.[34]
Residuensatz
In manchen Fällen, besonders bei unendlichen Reihen über rationale Funktionen, kann der Residuensatz aus der Funktionentheorie verwendet werden. Ist eine meromorphe Funktion mit endlichen vielen, nicht ganzzahligen Polstellen , so gilt, falls zusätzlich mit und , die Formel
Ähnlich gilt
Dabei bezeichnet den Kotangens und den Kosekans. Diese Aussage beinhaltet folgenden Spezialfall: Sind und Polynome, so dass und für alle , so folgt
Mit diesem Verfahren lässt sich zum Beispiel
und
zeigen.
Ungleichungen
Ungleichungen für Reihen verwenden oft spezielle analytische Methoden, etwa aus der Fourier-Analysis.
Standardabschätzung
Es gilt stets
Besselsche Ungleichung
Bezeichnet eine 1-periodische Funktion und ihre Fourier-Transformierte, so gilt die Besselsche Ungleichung[35]
Hausdorff-Young-Ungleichung
Sind und so gewählt, dass , so gilt die Hausdorff-Young-Ungleichung
und ihre „Duale“
wenn 1-periodisch, auf integrierbar mit assoziierter Fourier-Reihe .[36]
Anwendungen
Darstellung mathematischer Konstanten
Neben der Konvergenz und dem numerischen Wert einer Reihe ist auch der symbolische Wert einer Reihe von Bedeutung. Beispielsweise lassen sich so mathematische Konstanten darstellen und numerisch berechnen. Für wichtige Reihendarstellungen existieren zudem Tabellierungen in Reihentafeln.
Kreiszahl
Von historischer Bedeutung ist etwa das Basler Problem, welches nach dem Grenzwert der Reihe aller reziproken Quadratzahlen fragte. Leonhard Euler publizierte 1735 in seiner De Summis Serierum Reciprocarum[37] die Lösung:
Dabei ist die Kreiszahl. Euler konnte allgemein für sogar
mit den Bernoulli-Zahlen zeigen. Der Fall ungerader Exponenten ist deutlich schwieriger, und es existieren hier keine geschlossenen Analoga. Allerdings konnte Matyáš Lerch im Jahr 1900 folgende Reihenidentität aufzeigen:[38]
Während all diese Reihen vergleichsweise langsam konvergieren, ist die 1914 von Srinivasa Ramanujan veröffentlichte, auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen basierende Gleichung zur Berechnung der Kreiszahl gut geeignet:[39][40]
Die Brüder David und Gregory Chudnovsky berechneten mit ihrer Hilfe 2 Milliarden Nachkommastellen von in den frühen neunziger Jahren.[41] Der davon inspirierte Chudnovsky-Algorithmus basiert auf der folgenden verwandten Reihendarstellung:[42]
1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel:
Diese Reihe ermöglicht es, die -te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von zu berechnen, ohne dass zuvor die vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.
Eulersche Zahl
Die Eulersche Zahl ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Ihre bekannteste Reihendarstellung ergibt sich aus der Taylor-Entwicklung der natürlichen Exponentialfunktion:
Aufgrund ihrer schnellen Konvergenz ist diese Reihe nicht nur zur Berechnung von Dezimalstellen der Eulerschen Zahl geeignet. Es kann mit ihrer Hilfe auch ein elementarer Beweis erbracht werden, dass eine irrationale Zahl ist.[43]
Reihen von Funktionen
Anstatt Folgen von Zahlen kann man auch Folgen von Funktionen betrachten und entsprechend Reihen definieren. Hier kommt zur Frage der Konvergenz noch die nach den Eigenschaften der Grenzfunktion hinzu. Umgekehrt kann man fragen, durch welche Reihe sich eine Funktion darstellen lässt. So eine Darstellung nennt sich Reihenentwicklung.
Potenzreihen
Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche Reihen, in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Solche Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt. Werden auch negative Potenzen der Variablen zugelassen, spricht man von Laurentreihen.
Fourierreihen
Als Fourierreihe einer Funktion bezeichnet man ihre Entwicklung nach trigonometrischen Funktionen und . Die Eulersche Reihe ist ebenfalls von diesem Typ.
Dirichletreihen
Als Dirichletreihe bezeichnet man eine Entwicklung
- mit
Ein wichtiges Beispiel ist die Reihendarstellung der Riemannschen Zetafunktion
- mit .
Präfixsumme
In der Informatik wird mit Präfixsumme ein Algorithmus bezeichnet, der jeden Eintrag eines Arrays durch die Partialsumme ersetzt.[44][45] Die Präfixsumme kann parallelisiert werden und ist daher ein grundlegender Algorithmus für Rechnersysteme mit mehreren Prozessorkernen, GPUs oder Rechnerclustern.
Weblinks
Literatur
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-59111-7, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 2).
- Izrail Solomonovic Gradshteyn, Iosif Mojseevic Ryzhik: Table of Integrals, Series and Products. Herausgegeben von Alan Jeffrey und Daniel Zwillinger. 7. Ausgabe. Elsevier Academic Press, Amsterdam u. a. 2007, ISBN 978-0-12-373637-6.
Einzelnachweise
- ↑ Summenfolge. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- ↑ Wolfgang Stegmüller: Neue Betrachtungen über Aufgaben und Ziele der Wissenschaftstheorie. Wahrscheinlichkeit—Theoretische Begriffe—Induktion. Das ABC der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-61952-6, S. 147 (google.com [abgerufen am 17. September 2022]).
- ↑ Hubert Weber, Helmut Ulrich: Laplace-Transformation: Grundlagen - Fourierreihen und Fourierintegral - Anwendungen. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-8351-0140-1, S. 92 (google.com [abgerufen am 17. September 2022]).
- ↑ Reihe. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- ↑ a b Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 195.
- ↑ Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Auflage 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 37.
- ↑ a b Terence Tao: Analysis 1, Third Edition, Text and Readings in Mathematics 37, Hindustan Book Agency, S. 167.
- ↑ Giovanni Ferraro: The Rise and Development of the Theory of Series up to the Early 1820s, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, S. 1.
- ↑ Giovanni Ferraro: The Rise and Development of the Theory of Series up to the Early 1820s, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, S. 3.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 135–136.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 134.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 134.
- ↑ Terence Tao: Analysis 1, Third Edition, Text and Readings in Mathematics 37, Hindustan Book Agency, S. 181.
- ↑ Terence Tao: Analysis 1, Third Edition, Text and Readings in Mathematics 37, Hindustan Book Agency, S. 179.
- ↑ a b c Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 324.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 297.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 412.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 325.
- ↑ Terence Tao: Analysis 1, Third Edition, Text and Readings in Mathematics 37, Hindustan Book Agency, S. 172.
- ↑ P. D. T. A. Elliott: Probabilistic Number Theory I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 239, Springer, S. 333–334.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 10.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 14.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 54.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 192.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 172.
- ↑ Gerald Tenenbaum: Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Graduate Studies in Mathematics, Third Edition, Volume 163, AMS, S. 343.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 4.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 11.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 148.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 153.
- ↑ Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, S. 133–134.
- ↑ Elias Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University Press, S. 36.
- ↑ Elias Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University Press, S. 79–80.
- ↑ Elias Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University Press, S. 154.
- ↑ Marius Overholt: A Course in Analytic Number Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Vol. 160, S. 210.
- ↑ Elias Stein, Rami Shakarchi: Functional Analysis, Princeton University Press, S. 49.
- ↑ Euler, De summis serierum reciprocarum, Opera Omnia, Reihe I, Band 14, S. 73–86, in der Standard-Notation der Werke von Euler von Eneström ist das E 41, zuerst erschienen in Comm. Acad. Petrop. 7 (1734/35), St. Petersburg 1740, S. 123–134. Die Arbeit wurde im Dezember 1735 der Akademie vorgelegt.
- ↑ Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).
- ↑ S. Ramanujan: Modular equations and approximations to . Quarterly Journal of Mathematics, Band 45, 1914, S. 350–372, abgerufen am 18. April 2020.
- ↑ Jonathan Borwein, Peter Borwein, D. H. Bailey, Ramanujan: Modular equations and approximations to pi or how to compute one billion digits of pi. (PDF) American Mathematical Monthly, Band 96, 1989, S. 201–219, abgerufen am 18. April 2020.
- ↑ David H. Bailey, Jonathan M. Borwein: Pi: The next generation, Springer, S. 175.
- ↑ Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for 1/π: a survey. In: American Mathematical Monthly. Band 116, Nr. 7, 2009, S. 567–587, doi:10.4169/193009709X458555, JSTOR:40391165.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer, S. 198–199.
- ↑ Michelle Kuttel (2012): Parallel Java. §5 Vorlesungsfolien
- ↑ Stefan Edelkamp (2010): Algorithm Engineering. Vorlesungsfolien (Memento vom 11. Mai 2015 im Internet Archive)
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Illustration of Cauchy sequence. Created using python with numpy and matplotlib toolkits. Based on the file: File:Cauchy_sequence_illustration.png.
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Illustration of a curve getting rectified in order to find its arc length. When rectified, the curve gives a straight line with the same length as the curve's arc length.
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Die Reihe konvergiert gegen 1. Die Animation illustriert die Bildungsvorschrift, bei der jedes Folgeglied durch die Halbierung des vorherigen Gliedes entsteht. Auf diese Weise ist einzusehen, dass bei jedem Schritt die obere Schranke 1 nie überschritten wird und damit auch die unendliche Reihe gegen 1 strebt.