Kreiszahl

Die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$, auch bezeichnet als Ludolphsche (oder Ludolfsche) Zahl^[1] oder Archimedes-Konstante,^[2] ist eine reelle mathematische Konstante.

Die Bezeichnung ${\displaystyle \pi }$ (gelesen ‚pi‘) als Anfangsbuchstabe des griechischen Worts περίμετρος – perímetros, „Umfang“ oder περιφέρεια – zu lateinisch peripheria, „Randbereich“ nimmt Bezug darauf, dass die Kreiszahl das Verhältnis der Länge einer Kreislinie (des Umfangs eines Kreises) zu der seines Durchmessers angibt.^{[A 1]} Die Zahl ${\displaystyle \pi }$ hat in allen Stellenwertsystemen unendlich viele, nicht-periodisch auftretende Nachkommastellen – ihre Dezimaldarstellung bis zur 50. Nachkommastelle lautet:

${\displaystyle \pi =3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\,41971\,69399\,37510\,\dots }$

Wo keine besonders große Genauigkeit erforderlich ist, wird gerne mit dem Näherungswert 3,14 für ${\displaystyle \pi }$ gerechnet.

Die Zahl ${\displaystyle \pi }$ hat eine Reihe besonderer Eigenschaften, insbesondere ist sie transzendent und somit auch irrational, das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden.^{[A 2]} Die enorme Bedeutung der Zahl ${\displaystyle \pi }$ liegt darin begründet, dass sie in vielen ganz unterschiedlichen mathematischen Teilgebieten und Theorien auftritt: neben der Geometrie etwa in der Analysis (insbesondere in der Funktionentheorie), der Kombinatorik, der Topologie, der Zahlentheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie in der Physik.

Die Erforschung der Kreiszahl hat eine sehr lange mathematische Tradition. Der Mathematiker Archimedes konnte um das Jahr 250 v. Chr. Pi bis auf zwei Nachkommastellen berechnen. Obwohl die Chinesen Liu Hui bzw. Zu Chongzhi im Zeitraum 300 bis 500 schon 6 bis 7 Nachkommastellen kannten, verblieben die Berechnungen des Archimedes in den westlichen Kulturen lange der Status quo. Ab dem 16. Jahrhundert wurden in Europa die Forschungen zur Kreiszahl erneut aufgenommen, wobei sich seit dieser Zeit ein gewisser Wettlauf hinsichtlich der Berechnungsgenauigkeit einstellte. Geometrische Verfahren, die auf der Annäherung des Kreises durch Vielecke basierten, wurden zunehmend durch Methoden der Analysis ersetzt, vornehmlich Berechnungen über unendliche Reihen, die seit Begründung einer rigorosen Trigonometrie zur Verfügung standen. Für heutige Berechnungen ist die Anwendung des Chudnovsky-Algorithmus gängige Praxis.

Im Zeitraum 1761 bis 1767 konnte Johann Heinrich Lambert den mathematischen Beweis erbringen, dass ${\displaystyle \pi }$ eine irrationale Zahl ist. Dieses Ergebnis wurde 1882 von Ferdinand von Lindemann durch den Beweis, dass ${\displaystyle \pi }$ eine transzendente Zahl ist, verschärft. Damit grenzt sich die Kreiszahl auch von jenen irrationalen Zahlen ab, die als Lösungen einfacher Gleichungen „sichtbar“ werden. Damit sind Gleichungen gemeint, die nur aus ganzen Zahlen und einer endlichen Abfolge der vier Grundrechenarten aufgebaut sind (triviale Beispiele wie ${\displaystyle 1=1}$ ausgenommen): Beispielsweise ist ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ zwar irrational, aber nicht transzendent, da sie Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ ist. Allerdings verbleiben viele Fragen weiterhin offen. Es wird zum Beispiel vermutet, dass ${\displaystyle \pi }$ eine normale Zahl ist, ihre Dezimalentwicklung also einem pseudozufälligen Verhalten unterworfen ist.

Die Bezeichnung Pi (${\displaystyle \pi }$) wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er^[3] mit ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}}$ das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}=3{,}1415\ldots }$^[4] Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. Im Jahr 1697 nahm David Gregory ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\rho }}}$ für das Verhältnis von Umfang zu Radius.^[5]

59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben ${\displaystyle \pi }$ ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.^[6][7] Erst im 18. Jahrhundert wurde ${\displaystyle \pi }$ durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals ${\displaystyle \pi }$ für die Kreiszahl, nachdem er zuvor ${\displaystyle p}$ verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ zu definieren. Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus (vergleiche Kreisfläche):

• Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie (siehe Bild) beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als das Verhältnis von Umfang ${\displaystyle U}$ zum Durchmesser ${\displaystyle d}$ des Kreises. Die Kreiszahl entspricht demnach dem Quotienten und Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle \pi ={\tfrac {U}{d}}}$.^[8]
• Der zweite geometrische Ansatz (siehe Bild) fußt auf dem Vergleich des Flächeninhalts ${\displaystyle A}$ eines Kreises mit dem Flächeninhalt des Quadrats über seinem Kreisradius (auch: Halbmesser) ${\displaystyle r}$, also seinem halben Durchmesser. Aus Gründen der Ähnlichkeit sind diese beiden Flächeninhalte ebenfalls proportional. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ definieren als der Quotient bzw. der Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle \pi ={\tfrac {A}{r^{2}}}}$. Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie ${\displaystyle \pi :4}$ verhält.^[9]

• 
  Ein Kreis mit dem Durchmesser ${\displaystyle 1}$ hat den Umfang ${\displaystyle \pi }$.

• 
  Erster geometrischer Ansatz:  ${\displaystyle \pi ={\tfrac {U}{d}}}$.
• 
  Zweiter geometrischer Ansatz: ${\displaystyle \pi ={\frac {A_{Kreis}}{A_{Quadrat}}}}$
• 
  ${\displaystyle \pi }$ ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion.

• In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion ${\displaystyle \cos(x)}$ über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen.^[10][11]
• Weitere analytische Ansätze gehen auf John Wallis und Leonhard Euler zurück.^[12]

Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, sprich ${\displaystyle U:d=A:r^{2}}$.^[8] Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$.

Die Zahl ${\displaystyle \pi }$ ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$, also nicht als Bruch ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$, dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.^{[13][A 3]}

Tatsächlich ist die Zahl ${\displaystyle \pi }$ sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das ${\displaystyle \pi }$ zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzen Zahlen aus ${\displaystyle \pi }$ erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.

Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, ${\displaystyle \pi }$ nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Bei der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ handelt es sich jedoch um eine algebraische Periode, was unmittelbar aus deren geometrischer Natur als Fläche des Einheitskreises hervorgeht.^[14]

Da ${\displaystyle \pi }$ eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung^[15]

${\displaystyle \pi =3{,}14159\;26535\;89793\;23846\;26433\;83279\;50288\;41971\;69399\;37510\;58209\;74944\;59230\;78164\;06286\;20899\;86280\;34825\;34211\;70679\ldots }$(Folge A000796 in OEIS)

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).^[16]

Im Binärsystem ausgedrückt ist

${\displaystyle \pi =11{,}0010\;0100\;0011\;1111\;0110\;1010\;1000\;1000\;1000\;0101\;1010\;0011\;0000\;1000\;1101\;0011\;0001\;0011\;0001\;1001\;1000\;1010\;0010\;1110\dots }$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004601).

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da ${\displaystyle \pi }$ irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch. Der reguläre Kettenbruch^{[A 4]} der Kreiszahl beginnt so:

${\displaystyle \pi =3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von ${\displaystyle \pi }$ ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch^{[A 5]} (Folge A280135 in OEIS):

${\displaystyle \pi =4-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{17-{\frac {1}{294-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

Anders als bei der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von ${\displaystyle \pi }$ keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.^[17]

Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von ${\displaystyle \pi }$, bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:^[18]

${\displaystyle \pi =3+{\frac {1^{2}}{\scriptstyle 6+{\frac {3^{2}}{6+{\frac {5^{2}}{6+{\frac {7^{2}}{6+{\frac {9^{2}}{6+{\frac {11^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{1+{\frac {1^{2}}{2+{\frac {3^{2}}{2+{\frac {5^{2}}{2+{\frac {7^{2}}{2+{\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{\scriptstyle 1+{\frac {1^{2}}{3+{\frac {2^{2}}{5+{\frac {3^{2}}{7+{\frac {4^{2}}{9+{\frac {5^{2}}{11+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler Folge A002485 in OEIS bzw. Nenner Folge A002486 in OEIS) die folgenden:^[19][20]

Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung ${\displaystyle {\tfrac {m_{20}}{n_{20}}}}$ stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden Kilometer Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.

Der exakte Wert des Irrationalitätsmaßes von ${\displaystyle \pi }$, also wie gut sich die Kreiszahl von rationalen Zahlen approximieren lässt, ist jedoch bis jetzt nicht bekannt.^[22]

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.

Es ist noch ungeklärt, ob ${\displaystyle \pi }$ eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.^[23]

Wenn ${\displaystyle \pi }$ eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von ${\displaystyle \pi }$ zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.^{[A 6]}

Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl ${\displaystyle \pi }$ entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl ${\displaystyle \pi }$ tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als ${\displaystyle \pi }$ ab.

Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762-sten Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt bei der 193.034-sten Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.

Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag: Man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Buchhalter und Wissenschaftler, vor allem Mathematiker und Astronomen, seit der Antike nach immer genaueren Näherungswerten für die Kreiszahl. Wesentliche Beiträge lieferten etwa ägyptische, babylonische und griechische Wissenschaftler, im Mittelalter vor allem chinesische und persische Wissenschaftler, in der Neuzeit französische, englische, schottische, deutsche und schweizerische Wissenschaftler. In der jüngeren Geschichte gerieten die Bestrebungen zur größtmöglichen Annäherung an ${\displaystyle \pi }$ phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die Babylonier benutzten ca. 1900–1600 v. Chr. die wahrscheinlich älteste ${\displaystyle \pi }$-Näherung. Hervor geht dies aus einer 1936 ausgegrabenen Tontafel. Der darin ersichtliche Ansatz – umgerechnet aus dem verwendeten Zahlensystem zur Basis 60 – war:

Der Umfang eines einbeschriebenen Sechsecks ${\displaystyle (3d)}$ ist ${\displaystyle {\tfrac {24}{25}}=0{,}96}$-mal so groß wie der Umfang des umschreibenden Kreises.^[24]

Mit Berücksichtigung des Zahlensystems zur Basis 60 gilt im Einheitskreis ${\displaystyle r=1}$:^[25]

${\displaystyle \pi \approx {\frac {3}{\left({\frac {57}{60}}+{\frac {36}{3600}}\right)}}=3+{\frac {1}{8}}=3{,}125=\pi -0{,}0165\ldots }$

Oder einfach nur ${\displaystyle 3}$,^[25] solange dessen Abweichung von gut ${\displaystyle 4{,}5\ \%}$ nicht ins Gewicht fiel.

Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, der altägyptische Papyrus Rhind aus der Mitte des 16. Jahrhunderts v. Chr., nennt den Wert^[26]

${\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}=3{,}16049\ldots =\pi +0{,}0189\ldots }$

was vom tatsächlichen Wert nur um rund ${\displaystyle 0{,}60\ \%}$ abweicht. Dieser Wert wurde gefunden (siehe Bild), als die Annäherung des Flächeninhalts eines Kreises über ein unregelmäßiges Achteck zu einem Quadrat (rot) mit nahezu gleichem Flächeninhalt führte. Bei einem Kreis mit Durchmesser ${\displaystyle d=2}$ ist der Flächeninhalt dieses Quadrats

${\displaystyle \left({\frac {8}{9}}\cdot 2\right)^{2}={\frac {256}{81}}=3{,}16049\ldots =\pi +0{,}0189\ldots }$

Der Wert ${\displaystyle 3}$ findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens,^[27] das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:

Die Inder nahmen um 800 v. Chr. für die Kreiszahl den Wert aus der Baudhayana-Sulbasutra. Die Sulbasutras (Schnurregeln) enthalten alle eine Methode zur Quadratur des Kreises. Bei einem Kreis (siehe Bild) mit Durchmesser ${\displaystyle d=2}$ ist der Flächeninhalt des Quadrats (rot)^[29]

${\displaystyle \left({\frac {13}{15}}\cdot 2\right)^{2}={\frac {676}{225}}=3{,}00{\overline {4}}=\pi -0{,}1371\ldots }$

Für den griechischen Mathematiker Archimedes und viele nach ihm war unklar, ob die Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob ${\displaystyle \pi }$ also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sich als rationale Zahl darstellen lassen, sogar von Kreisteilen eingeschlossene wie die Möndchen des Hippokrates. Ein Beispiel für eine rationale Darstellbarkeit von Kreisausschnitten, weshalb es lange für möglich gehalten wurde, dass auch die Kreiszahl selbst rational ist.

Archimedes gelang es um 250 v. Chr. in seinem Werk Die Kreismessung, die Kreiszahl mathematisch einzugrenzen, d. h., eine Ober- und Unterschranke anzugeben. Hierzu näherte er sich wie auch andere Mathematiker mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis an, um Näherungswerte für ${\displaystyle \pi }$ zu gewinnen. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken, beginnend bei Sechsecken, durch wiederholtes Verdoppeln der Eckenzahl bis zu 96-Ecken, berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang.^[30] Er kam zu der Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{70}}}$ sein müsse, jedoch größer als ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{71}}}$:

${\displaystyle 3{,}1408450\approx 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {10}{70}}\approx 3{,}1428571}$

Laut Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

${\displaystyle 3+{\frac {9552}{67441}}<\pi <3+{\frac {10835}{62351}}\quad (3{,}1416349<\pi <3{,}1737743)}$

Wilbur Knorr korrigierte zu:^[31]

${\displaystyle 3+{\frac {8915}{62991}}<\pi <3+{\frac {9552}{67441}}\quad (3{,}1415281<\pi <3{,}1416349)}$

In den westlichen Kulturen stellten diese Berechnungen von Archimedes über eine sehr lange Zeit – wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen auch – den Status quo in Bezug auf die Genauigkeit der Kenntnis von ${\displaystyle \pi }$ dar. Erst im 16. Jahrhundert erwachte das Interesse wieder.

Handwerker benutzten in dieser Zeit – und bis vor Rechenschieber und Taschenrechner – die Näherung Archimedes

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3{,}142857\ldots =\pi +0{,}0012\ldots }$

und errechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber ${\displaystyle \pi }$ beträgt etwa ${\displaystyle 0{,}04\ \%}$. In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend. Die Näherung ist anders formuliert Teil der oben beschriebenen Abschätzung ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{70}}}$.

Fortschritte in der Annäherung an ${\displaystyle \pi }$ erzielten in der Zeit des 3. bis 15. Jahrhunderts vor allem chinesische und persische Wissenschaftler.

Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken ${\displaystyle 3{,}141024}$ und ${\displaystyle 3{,}142704}$ sowie später aus dem 3072-Eck den Näherungswert ${\displaystyle 3{,}1416}$.^[32]

Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (429–500) für die Kreiszahl ${\displaystyle 3{,}1415926<\pi <3{,}1415927}$. „Dieses Intervall war mit seinen 7 genauen Nachkommastellen 800 Jahre lang Weltrekord. Von ihm stammt auch der fast genauso gute Näherungsbruch“^[33]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {355}{113}}&=3{,}1415929\ldots =\pi +0{,}000000266\ldots \\&=3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1}}}}}}=[3;7,15,1]\\\end{aligned}}}$

Immerhin sind sechs Nachkommastellen gleich mit denen in ${\displaystyle \pi }$. Es ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle \pi }$ (siehe hierzu auch Abschnitt Kettenbruchentwicklung), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde (Adriaan Metius, deshalb auch Metius-Wert genannt).

Der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata beschreibt 499 in seinem Werk Aryabhatiya seine Formel bezüglich Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser:

Freie Übersetzung:

${\displaystyle {\frac {62832}{20000}}=3{,}1416=\pi +0{,}00000734\ldots }$.

Das Ergebnis liegt nur um rund ${\displaystyle 0{,}00023\ \%}$ zu hoch.

Um 650 entdeckte der Hindu Brahmagupta, dass von den regelmäßigen Vielecken mit den Seiten 12, 24, 48 und 96 mit einem Durchmesser ${\displaystyle d=10}$ die Umfänge folgende Werte aufweisen: ${\displaystyle {\sqrt {965}},\;{\sqrt {981}},\;{\sqrt {986}}}$ und ${\displaystyle {\sqrt {987}}.}$ Er folgerte daraus, dass durch fortgesetzter Verdoppelung der Seitenzahlen, der Wert des Umfangs nach ${\displaystyle {\sqrt {1000}}}$ streben könnte. Deshalb fand er den Wert:^[35]

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1000}{10}}}={\sqrt {10}}=3{,}16227\ldots =\pi +0{,}0206\ldots }$.

Im 14. Jahrhundert berechnete Zhao Youqin die Kreiszahl über ein 16384-Eck und erhielt für den Kreisumfang den Wert ${\displaystyle 3{,}141592\ldots }$, das heißt, sechs Nachkommastellen gleichen denen von ${\displaystyle \pi }$.^[36] Das nebenstehende Bild zeigt prinzipiell Zhao Youqins Algorithmus zur Berechnung von ${\displaystyle \pi .}$ Die Ausgangsfigur ist ein von einem Kreis einbeschriebenes Quadrat. Um die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ eines 16384-Ecks zu bestimmen, musste Zhao Youqin, beginnend beim Quadrat, zwölf ${\displaystyle (4\cdot 2^{12}=16384)}$ Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$ halbieren (Iterationen).^[36] Die Vermutung liegt nahe, dass Zhao Youqin bei der Berechnung den Kreisabschnitt und den Satz des Pythagoras nutzte. Die trigonometrischen Tabellen für Sinus und Kosinus wurden erst etwa 100 Jahre später von Georg von Peuerbach und Regiomontanus erstellt.^[37] Aufgrund dessen lässt sich heute die von Zhao Youqin gefundene ${\displaystyle \pi }$-Näherung ${\displaystyle 3{,}141592}$ einfach überprüfen. Zuerst ist die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des 16384-Ecks zu bestimmen, anschließend wird der Flächeninhalt des 16384-Eck ermittelt und mit dem Flächeninhalt ${\displaystyle A}$ des Kreises mit Radius ${\displaystyle r\;=1\;({\widehat {=}}\;\pi )}$ verglichen.

${\displaystyle a_{16384}=2\cdot \sin \left({\frac {\mu }{2}}\right)=2\cdot \sin \left({\frac {\frac {360^{\circ }}{16384}}{2}}\right)=0{,}000383495194\ldots }$

${\displaystyle A_{16384}={\frac {n\,a^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {16384\cdot 0{,}000383495194^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {180^{\circ }}{16384}}\right)=3{,}141592{\color {red}566}\ldots }$.

Die Nachrechnung zeigt ebenfalls: 6 Nachkommastellen sind gleich denen von ${\displaystyle \pi .}$

Im Jahr 1424 erbrachte Dschamschid Masʿud al-Kaschi (al-Kaschi) mit seinem abgeschlossenen Werk „Abhandlung über den Kreis“ eine beachtenswerte Leistung. Darin zeigt er u. a. eine Berechnung des Kreisumfangs ${\displaystyle 2\pi }$. Sein Ansatz war ein regelmäßiges Vieleck mit einem Umkreisradius ${\displaystyle r=60}$ und die Seitenlänge kleiner als ${\displaystyle {\tfrac {8}{60^{4}}}}$. So kam er auf das regelmäßige Vieleck mit ${\displaystyle 3\cdot 2^{28}}$ gleich ${\displaystyle 805306368}$ Seiten. Im Sexagesimalsystem ausgedrückt ist dies ein 1,2,8,16,12,48-Eck.^[38] Al-Kaschi führte die Berechnungen mit dem Sexagesimalsystem (zur Basis 60) durch sowie erstmalig in der islamischen Mathematik mit Dezimalbrüchen.^[38] Der Zeitaufwand dafür muss – aus heutiger Sicht – extrem hoch gewesen sein, die dafür erforderlichen trigonometrischen Tabellen für Sinus und Kosinus von Georg von Peuerbach (1423–1461) und Regiomontanus erstellt, standen – wie bereits weiter oben erwähnt – noch nicht zur Verfügung.

Mit den heute vorhandenen Mitteln ist es einfach zuerst die Seitenlänge ${\displaystyle a_{Vieleck}}$ und dann den doppelten Flächeninhalt ${\displaystyle 2\cdot A_{Vieleck}}$ des Vielecks zu bestimmen. Abschließend wird der doppelte Flächeninhalt des Vielecks mit dem Kreisumfang des Einheitskreises ${\displaystyle r\;=1\;({\widehat {=}}\;2\pi )}$ verglichen.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{Vieleck}\;&=2\cdot \sin \left({\frac {\mu }{2}}\right)=2\cdot \sin \left({\frac {\frac {360^{\circ }}{3\cdot 2^{28}}}{2}}\right)=7{,}802229756091518279\cdot 10^{-9}\ldots \\2\cdot A_{Vieleck}&={\frac {n\,a^{2}}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {3\cdot 2^{28}\cdot \left(7{,}802229756091518279\cdot 10^{-9}\right)^{2}}{2}}\cdot \cot \left({\frac {180^{\circ }}{3\cdot 2^{28}}}\right)\\&=6{,}2831853071795864{\color {red}13}\ldots .\end{aligned}}}$

Das Nachrechnen mit 18 Dezimalstellen der berechneten Seitenlänge ${\displaystyle a_{Vieleck}}$ liefert sogar 16 Nachkommastellen gleich denen von ${\displaystyle 2\pi .}$ Der überlieferte Näherungswert ${\displaystyle 6{,}283185307179586{\color {red}5}}$ (15 gleiche Nachkommastellen) konnte erst 1596 von Ludolph van Ceulen (im Folgenden beschrieben) maßgeblich verbessert werden.^[38]

In Europa gelang es Ludolph van Ceulen 1596, die ersten 35 Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens^[39] für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen ${\displaystyle 2^{62}}$-Eck fort.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener ${\displaystyle 2^{n}}$-Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für ${\displaystyle \pi }$ in Form eines unendlichen Produktes ab:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots }$

Der englische Mathematiker John Wallis, der 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt entwickelte, zeigte im gleichen Jahr die Viète-Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}$

Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \dotsb }$

Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen ${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}}$ auch ein Spezialfall (${\displaystyle \theta =1}$) der Reihenentwicklung des Arkustangens, die der indische Mathematiker Madhava um ca. 1400 fand und auf die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670er Jahren zurückkam:

${\displaystyle \arctan \theta ={\frac {\theta ^{1}}{1}}-{\frac {\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\theta ^{5}}{5}}-{\frac {\theta ^{7}}{7}}\pm \dotsb }$

Sie war in der Folgezeit Grundlage vieler Approximationen von ${\displaystyle \pi }$, die alle lineare Konvergenzgeschwindigkeit haben.

Im Jahr 1706 beschrieb William Jones in seinem Werk Synopsis palmariorum matheseos die von ihm entwickelte Reihe, mit der er 100 Nachkommastellen von ${\displaystyle \pi }$ bestimmte.

„Let ${\displaystyle \,\alpha =2{\sqrt {3}}}$.  [ … ]  Then ${\displaystyle \pi =\alpha -{\frac {1}{3}}{\frac {3\alpha }{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\alpha }{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3\alpha }{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {\alpha }{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3\alpha }{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {\alpha }{9^{3}}}}$, &c.“^[6]

Im selben Jahr 1706 berechnete John Machin mit seiner Formel

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

gleichfalls die ersten 100 Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$. Die Formel ist über das Additionstheorem des Arkustangens zu gewinnen – oder gleichwertig durch Betrachtung der komplexen Zahl, bestehend aus Potenzen ganzzahliger, so genannter Gaußscher Zahlen, mit ganzzahligen Exponenten^{[A 7]}

${\displaystyle (5+\mathrm {i} )^{4}\cdot (239-\mathrm {i} )=114244+114244\;\mathrm {i} =(1+\mathrm {i} )\cdot 114244}$

und dem Argumentwert; ${\displaystyle \arg(1+\mathrm {i} )={\tfrac {\pi }{4}}}$.

Im Laufe der Zeit wurden viele Formeln dieser Art gefunden.^{[A 8]} Eine Formel mit sehr guter Konvergenz der taylorschen Reihen stammt von Carl Størmer (1896):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\,\arctan {\frac {1}{57}}+7\,\arctan {\frac {1}{239}}-12\,\arctan {\frac {1}{682}}+24\,\arctan {\frac {1}{12943}}}$,

welche gleichbedeutend damit ist, dass Real- und Imaginärteil der Gaußschen Zahl

${\displaystyle (57+\mathrm {i} )^{44}\cdot (239+\mathrm {i} )^{7}\cdot (682-\mathrm {i} )^{12}\cdot (12943+\mathrm {i} )^{24}=(1+\mathrm {i} )\cdot n}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

gleich sind.^{[A 9]}

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in analysin infinitorum im ersten Bande ${\displaystyle \pi }$ bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ = ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }n^{(-2)}=\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)}$

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \dotsc }$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\dotsb }$

${\displaystyle {\frac {\pi -3}{4}}={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8}}\mp \dotsb }$

Johann Heinrich Lambert bewies 1761/1767 die Irrationalität der Kreiszahl. Damit stand erstmalig fest, dass eine exakte oder abschließende Berechnung nicht möglich ist.

1770 publizierte Lambert einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\textstyle {\frac {5^{2}}{11+\textstyle {\frac {6^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}}}$

geschrieben wird. Bei der Berechnung der Kreiszahl liefert er pro Schritt im Mittel etwa 0,76555 Dezimalstellen, im Vergleich zu anderen Kettenbrüchen relativ viel.

Im 20. Jahrhundert wurden Iterationsverfahren entwickelt, die eine deutlich effizientere Berechnung „neuer“ Nachkommastellen von ${\displaystyle \pi }$ gestatten.

1914 fand der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan bei Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen die folgende Formel:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!\cdot (1103+26390n)}{(n!)^{4}\cdot 396^{4n}}}}$

Die ersten Iterationen dieses Verfahrens liefern folgende Ergebnisse:

Es wird also die Quadratwurzel aus 2 mit immer „längeren“ Näherungsbrüchen multipliziert. Pro Iteration liefert dieses Verfahren etwa 8 weitere korrekte Nachkommastellen.

Diese hocheffizienten Verfahren wurden erst mit der Entwicklung von Computern mit Langzahlarithmetik interessant, durch die der reine Rechenaufwand immer weniger ins Gewicht fiel, so dass komplizierte Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz praktisch durchführbar wurden.^[40]

• ${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(21460n+1123)\cdot (4n)!}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}}$

Der 1988 veröffentlichte Chudnovsky-Algorithmus wurde in allen aktuellen Rekordberechnungen eingesetzt. Er wurde aus dem Ramanujan-Ansatz entwickelt, arbeitet jedoch etwa 50 Prozent schneller, und basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{\sqrt {640320^{3}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!\cdot (545140134k+13591409)}{(3k)!\cdot (k!)^{3}\cdot (-640320)^{3k}}}}$

Eine technische Implementation beider Iterationsverfahren (Ramanujan und Chudnovsky) bietet die Software y-cruncher.

1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey eine neuartige Reihendarstellung für ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{16^{k}}}\left({\dfrac {4}{8k+1}}-{\dfrac {2}{8k+4}}-{\dfrac {1}{8k+5}}-{\dfrac {1}{8k+6}}\right)}$

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die ${\displaystyle n}$-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von ${\displaystyle \pi }$ zu berechnen, ohne dass zuvor die ${\displaystyle n-1}$ vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Später wurden für ${\displaystyle \pi }$ weitere BBP-Reihen gefunden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+5}}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}$

Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ fand Stanley Rabinowitz.^[41] Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ gefunden worden.

Die Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate über elliptische Integrale und deren Approximation über das Arithmetisch-geometrische Mittel ${\displaystyle M(a,b)}$ nach Gauß liefert das schnell konvergierende Verfahren von Salamin und Brent zur numerischen Berechnung.^[42] Grundlage hierfür ist die folgende zuerst von Gauß vermutete Darstellung von ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})\int _{0}^{1}{\frac {2\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

Letzteres Integral ist auch als lemniskatische Konstante bekannt. Es gilt dann

${\displaystyle \pi ={\frac {4\mathrm {M} (1,{\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}}}$,

wobei sich das arithmetisch-geometrische Mittel über die Iteration

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\qquad b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}}$

mit zwei initialen Argumenten ${\displaystyle a_{0},b_{0}>0}$ berechnet und ${\displaystyle c_{n}^{2}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}}$ gesetzt wird.^[43]

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass ${\displaystyle \pi }$ in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius ${\displaystyle r}$ lautet

${\displaystyle A_{K}=\pi r^{2}}$,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge ${\displaystyle 2r}$ errechnet sich als

${\displaystyle A_{Q}=(2r)^{2}}$.

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

${\displaystyle {\frac {A_{K}}{A_{Q}}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}$.

Damit lässt sich ${\displaystyle \pi }$ als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben:

${\displaystyle \pi =4\,{\frac {A_{K}}{A_{Q}}}}$.

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der ${\displaystyle \pi }$ näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von ${\displaystyle \pi }$ hängt von der Gitterweite ab und wird mittels ${\displaystyle r}$ kontrolliert. Mit ${\displaystyle r=10}$ erhält man z. B. 3,16 und mit ${\displaystyle r=100}$ bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon ${\displaystyle r=10000}$ zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

 r = 10000
 kreistreffer = 0
 quadrattreffer = r ^ 2
 for i = 0 to r - 1
   x = i + 0.5
   for j = 0 to r - 1
     y = j + 0.5
     if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
       kreistreffer = kreistreffer + 1
 return 4 * kreistreffer / quadrattreffer

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes ${\displaystyle r}$ marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Dieses Programm summiert die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen. Es verwendet die Gleichungen
${\displaystyle y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ und ${\displaystyle \pi ={\frac {A_{K}}{r^{2}}}}$ sowie ${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$.

// Ergibt 3.14159265_24... (genauer Wert 3.14159265_35...)
n := 1000000 // halbe Anzahl der Streifen
s := 0       // Summe der Flächeninhalte

for x := -1 to +1 step 1/n:
    // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren.
    // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen.
    s += sqrt(1 - x*x)

// Die 2 steht für die obere plus die untere Hälfte.
// Der Faktor 1/n ist die Breite des Streifens.
pi := 2 * s / n

Die x-Koordinaten der untersuchten Fläche gehen von ${\displaystyle -1}$ bis ${\displaystyle +1}$. Da Kreise rund sind und dieser Kreis sein Zentrum auf den Koordinaten ${\displaystyle 0,0}$ hat, liegen die y-Koordinaten ebenfalls im Bereich von ${\displaystyle -1}$ bis ${\displaystyle +1}$. Das Programm teilt die zu untersuchende Fläche in 2 Millionen schmale Streifen auf. Jeder dieser Streifen hat dieselbe Breite, nämlich ${\displaystyle 1/n}$. Die Oberkante eines jeden Streifens ist jedoch unterschiedlich und ergibt sich aus der obigen Formel zu ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$, im Code wird das als sqrt(1 - x*x) geschrieben. Die Höhe eines jeden Streifens geht von der Oberkante bis zur Unterkante. Da die beiden Kanten bei Kreisen gleich weit von der Mittellinie entfernt sind, ist die Höhe genau das Doppelte der Kantenlänge, daher die 2 im Code.

Nach dem Durchlaufen der for-Schleife befindet sich in der Variablen s der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1. Um aus dieser Zahl den Wert von Pi zu ermitteln, muss diese Zahl gemäß der Formel ${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$ noch durch ${\displaystyle r^{2}}$ geteilt werden. In diesem Beispiel ist ${\displaystyle r=1}$, daher ist das im Programmcode weggelassen.

Eine Methode zur Bestimmung von ${\displaystyle \pi }$ ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist approximiert ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$.

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von ${\displaystyle \pi }$ lässt sich daher nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der Algorithmus für diese Bestimmung ist:

function approximiere_pi(tropfenzahl)

    innerhalb := 0   // Zählt die Tropfen innerhalb des Kreises

    // So oft wiederholen, wie es Tropfen gibt:
    for i := 1 to tropfenzahl do

        // Zufälligen Tropfen im Quadrat [0,0] bis (1,1) erzeugen
        x := random(0.0 ..< 1.0)
        y := random(0.0 ..< 1.0)

        // Wenn der Tropfen innerhalb des Kreises liegt …
        if x * x + y * y <= 1.0
            innerhalb++   // Zähler erhöhen

    return 4.0 * innerhalb / tropfenzahl

Die 4.0 im Code ergibt sich daraus, dass in der Tröpfchensimulation nur die Anzahl für einen Viertelkreis berechnet wurde. Um daraus die (hochgerechnete) Anzahl für einen ganzen Kreis zu bekommen, muss die berechnete Anzahl noch mit 4 multipliziert werden. Da die Zahl Pi das Verhältnis zwischen der Kreisfläche und dem Quadrat des Radius ist, muss die so erhaltene Zahl noch durch das Quadrat des Radius geteilt werden. Der Radius ist in diesem Fall 1, daher kann das Teilen weggelassen werden.