Thurston Sphere Eversion
Die Sphäre wird von innen nach außen umgestülpt, wobei die deformierte Sphäre zu jedem Zeitpunkt mathematisch glatt ist. Falten, Zwickpunkte, Löcher oder ähnliches dürfen bei der Umstülpung nicht auftreten. Die Sphäre darf sich jedoch während der Umstülpung selbst durchdringen. Mathematisch betrachtet ist die Umstülpung eine reguläre Homotopie zwischen der Sphäre und ihrer Punktspiegelung an ihrem Mittelpunkt. Um die zwei Seiten der Sphäre zu kennzeichnen, ist ihre Außenseite goldfarben und ihre Innenseite violett eingefärbt.
Das Video hat vier Teile. Im ersten Teil wird eine komplette Umstülpung der Sphäre gezeigt. Konzeptuell ist die Sphäre aus acht Kugelzweiecken zusammengesetzt, die alle in der gleichen Art und Weise verformt werden. Im ersten Schritt wird die Sphäre (ähnlich zu einem Wellblech) gewellt. Dies ist notwendig, um eine ausreichende Biegsamkeit für die folgenden Schritte zu gewährleisten. Im zweiten Schritt werden der nördliche und südliche Teil der Sphäre durcheinander gedrückt. Dadurch entstehen im mittleren Teil der Kugel Schleifen. Im dritten Schritt werden der nördliche und südliche Teil der Sphäre um 180° in entgegengesetzte Richtungen gedreht. Gleichzeitig wird der mittleren Teil der Kugel verdreht, um die Schleifen zu entfernen. Im vierten Schritt werden die mittleren Teile der Sphäre durch die vertikale Achse der Sphäre gedrückt. Dadurch wird wird die Außenseite der Sphäre in das Innere der Sphäre bewegt. Im fünften Schritt werden die Wellen entfernt (das Wellblech geglättet) und so die Umstülpung der Sphäre abgeschlossen.
Im zweiten Teil des Videos wird die Umstülpung umgekehrt. In diesem Teil des Videos wird nur eine Hemisphäre gezeigt. Auf diese Weise lassen sich die komplexen Selbstdurchdringungen erkennen, die während der Umstülpung insbesondere im dritten und vierten Schritt auftreten. Die Umstülpung besitzt eine 180°-Rotationssymmetrie zwischen den beiden Hemisphären um eine Achse durch den Äquator. Daher ist die Verformung der beiden Hemisphären identisch.
Der dritte Teil des Videos zeigt die Umstülpung eines einzelnen Kugelzweiecks. Das Kugelzweieck kann man sich als einen Gürtel vorstellen, dessen beide Enden am Anfang in dieselbe Richtung zeigen. Konzeptionell kann man sich den zweiten Schritt der Umstülpung so vorstellen, dass die Enden des Gürtels aneinander vorbei bewegt werden werden, wobei die Enden ihre Richtung beibehalten. Dies verursacht eine Schleife im Gürtel, der einem gespiegelten „α“ (dem griechischen Buchstaben alpha) ähnelt. Wenn der Gürtel gerade gezogen würde, würde er eine Verdrehung von 360° aufweisen. Im dritten Schritt wird diese Verdrehung beseitigt, indem beide Enden des Gürtels um 180° in entgegengesetzte Richtungen gedreht werden. Dadurch entsteht ein Gürtel, der die Form eines um 90° gedrehten „Ω“ (der griechische Buchstabe Omega) hat. Der vierte Schritt schiebt die Mitte des Gürtels auf die gegenüberliegende Seite, wodurch sich das „Ω“ zu einem gedrehten „U“ verformt und die Außenseite des Gürtels (Kugelzweiecks) auf die Innenseite der Kugel wandert. Dieser Teil des Videos veranschaulicht also, dass die Hauptverformung, die bei jedem Kugelzweieck auftritt, der Bewegung entspricht, in einem Gürtel eine Schlaufe zu erzeugen und die Schlaufe dann durch Verdrehen des Gürtels zu entfernen. Das Wellen am Anfang und am Ende ist nicht notwendig, um ein einzelnes Kugelzweieck umzustülpen. Es ist jedoch unerlässlich, um alle acht Kugelweiecke (die gesamte Kugel) gleichzeitig umstülpen zu können.
Der vierte Teil des Videos zeigt eine umgekehrte Umstülpung der gesamten Kugel, wobei jedoch die Innenseite mit einem Bild der Erde bei Nacht und die Außenseite mit einem Bild der Erde bei Tag eingefärbt ist. Dies zeigt, dass die Umstülpung tatsächlich eine Punktspiegelung bewirkt, die die Orientierung der Sphäre umkehrt. Man beachte, dass z. B. Australien auf dem Kopf steht und spiegelverkehrt ist (sichtbar z. B. an der Position Neuseelands im Vergleich zu Australien). Nachdem die Umstülpung abgeschlossen ist, werden die Antipodenpunkte Australiens angezeigt (Nord- und Südamerika).
Das Video kann mit einem geeigneten Videoplayer in einer Schleife abgespielt werden.
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Umstülpung der SphäreDie Umstülpung der Sphäre ist ein Verfahren aus der Differentialtopologie, mit dem die Sphäre im dreidimensionalen euklidischen Raum von innen nach außen umgestülpt wird, ohne dass dabei Knicke oder Risse entstehen. Die Sphäre darf sich während der Umstülpung selbst durchdringen. Anschaulich kann man sich vorstellen, die Sphäre sei aus einem Material hergestellt, das beliebig dehnbar und verformbar ist und sich selbst durchdringen kann, wobei Knicke, Risse und andere nicht stetige und nicht glatte Verformungen zur Zerstörung des Materials führen. Wenn man sich die Sphäre mit roter Farbe auf der Außenseite und mit blauer Farbe auf der Innenseite angestrichen vorstellt, wird durch die Umstülpung die blaue Innenseite nach außen gestülpt und die rote Außenseite nach innen. .. weiterlesen