Sphere eversion topological event Q

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Carsten Steger

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Quelle:

Wikimedia Commons

Größe:

1080 x 1080 Pixel (1808521 Bytes)

Beschreibung:

Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese topologischen Ereignisse beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Das topologische Ereignis Q beschreibt das Entstehen und Verschwinden eines Vierfachpunktes zwischen vier verschiedenen Teilen der deformierten Sphäre. Die vier verschiedenen Teile der Sphäre durchdringen sich als Ganzes transversal. Wenn sich vier Teile der Sphäre gegenseitig in Paaren durchdringen, ergeben sich sechs Selbstdurchdringungskurven, die sich in vier Dreifachpunkten schneiden. Die vier Teile der Sphäre, die sechs Selbstdurchdringungskurven und die vier Dreifachpunkte formen einen Tetraeder. Wenn die Teile der Sphäre aufeinander zu bewegt werden, bewegen sich die vier Dreifachpunkte aufeinander zu, bis sie sich in einem Vierfachpunkt treffen. Gleichzeitig wird der Tetraeder immer kleiner, bis er in den Vierfachpunkt zusammenfällt. Wenn die Bewegung in die ursprünglichen Richtungen fortgesetzt wird, spaltet sich der Vierfachpunkt wieder in vier Dreifachpunkte auf. Auch der Tetraeder entsteht wieder, allerdings ist seine frühere Innenseite nun außen und umgekehrt.

Im Video werden die vier Teile der deformierten Sphäre als topologische Kreisscheiben in der Form von Ebenen visualisiert. Das Video zeigt, wie sich die Ebenen gegeneinander bewegen. Im ersten Teil des Videos bewegt sich die grüne Ebene nach oben, die orangefarbene Ebene nach hinten und die magentafarbene und grüne Ebene seitwärts. Der Tetraeder, der in der Mitte der Figur sichtbar ist, schrumpft, bis die vier Dreifachpunkte an den Ecken des Tetraeders in den Vierfachpunkt zusammenfallen. Danach erscheint der invertierte Tetraeder. Die Bewegungsrichtungen der Ebenen werden im zweiten Teil des Videos umgekehrt, wodurch die Änderung der Topologie in umgekehrter Richtung auftritt. Die gesamte Sequenz wird im Video ein zweites Mal wiederholt. Die vier verschiedenen Teile der Sphäre werden als transparente Oberflächen in Magenta, Cyan, Orange und Grün dargestellt. Um die Selbstdurchdringungskurven hervorzuheben, werden sie als weiße Röhren dargestellt. Um die Dreifachpunkte und den Vierfachpunkt hervorzuheben, werden sie als weiße Kugeln dargestellt.

Die Terminologie Q für dieses topologische Ereignis wird in den folgenden Artikeln beschrieben:

• Bernard Morin, Jean-Pierre Petit: Problématique du retournement de la sphère. In: Comptes rendus de l'Académie des sciences, série A. Volume 287, 1978, S. 767–770.
• Bernard Morin, Jean-Pierre Petit: Le retournement de la sphère. In: Pour la science. Volume 15, 1979, S. 34–49.
• François Apéry: An Algebraic Halfway Model for the Eversion of the Sphere (with an Appendix by Bernard Morin). In: Tohoku Mathematical Journal, Second Series. Volume 44, No. 1, 1992, S. 103–150.

Lizenz:

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