Sphere eversion topological events T+ and T-

Autor/Urheber:

Carsten Steger

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Quelle:

Wikimedia Commons

Größe:

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Beschreibung:

Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese topologischen Ereignisse beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Das topologische Ereignis T⁺ beschreibt die Entstehung eines Paars von Dreifachpunkten zwischen drei verschiedenen Selbstdurchdringungskurven der deformierten Sphäre. Wenn sich drei verschiedene Teile der deformierten Sphäre gegenseitig in Paaren durchdringen und die drei Teile der Sphäre hinreichend weit voneinander entfernt sind, ergeben sich drei disjunkte Selbstdurchdringungskurven. Wenn die drei Teile der Sphäre aufeinander zu bewegt werden, entsteht zunächst ein einzelner Dreifachpunkt, wenn zwei der Selbstdurchdringungskurven die dritte Selbstdurchdringungskurve tangential berühren. Wenn die drei Teile über den Tangentialpunkt hinaus bewegt werden, spaltet sich der Dreifachpunkt in zwei Dreifachpunkte auf. Die zwei Dreifachpunkte sind Punkte, an denen sich die drei Teile der Sphäre transversal durchdringen. Analog dazu beschreibt das topologische Ereignis T^- das Verschwinden eines Paars von Dreifachpunkten zwischen drei verschiedenen Selbstdurchdringungskurven der deformierten Sphäre, wenn die drei Teile der Sphäre auseinander gezogen werden. Die topologischen Ereignisse T⁺ und T^- können als Spiegelungen von einander in Bezug auf die Zeit betrachtet werden, d. h. T^- kann angesehen werden als T⁺ rückwärts betrachtet und umgekehrt.

Im Video werden die drei Teile der deformierten Sphäre als topologische Kreisscheiben in der Form von einem paraboloischen Zylinder bzw. zwei Ebenen visualisiert. Im ersten Teil zeigt das Video das topologische Ereignis T⁺: der parabolische Zylinder und die zwei Ebenen bewegen sich aufeinander zu, bis der parabolische Zylinder die Selbstdurchdringungskurve der zwei Ebenen in einem einzelnen Dreifachpunkt berührt. Durch die Fortsetzung der relativen Bewegung werden die zwei Dreifachpunkte erzeugt. Im zweiten Teil zeigt das Video das topologische Ereignis T^-: der parabolische Zylinder entfernt sich von den beiden Ebenen, bis die zwei Dreifachpunkte in einem Dreifachpunkt zusammenfallen, der dann verschwindet. Die drei verschiedenen Teile der Sphäre werden als transparente Oberflächen in Magenta, Cyan (Ebenen) und Orange (parabolischer Zylinder) dargestellt. Um die Selbstdurchdringungskurven hervorzuheben, werden sie als weiße Röhren dargestellt. Um die Dreifachpunkte hervorzuheben, werden sie als weiße Kugeln dargestellt.

Die Terminologie T⁺ und T^- für diese topologischen Ereignisse wird in den folgenden Artikeln beschrieben:

• Bernard Morin, Jean-Pierre Petit: Problématique du retournement de la sphère. In: Comptes rendus de l'Académie des sciences, série A. Volume 287, 1978, S. 767–770.
• Bernard Morin, Jean-Pierre Petit: Le retournement de la sphère. In: Pour la science. Volume 15, 1979, S. 34–49.
• François Apéry: An Algebraic Halfway Model for the Eversion of the Sphere (with an Appendix by Bernard Morin). In: Tohoku Mathematical Journal, Second Series. Volume 44, No. 1, 1992, S. 103–150.

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