Apéry Cuboctahedron Eversion
- François Apéry: Le retournement du cuboctaèdre, Prépublication de l'institut de recherche mathématique avancée, Université Louis Pasteur et C.N.R.S., Strasbourg, 1994, ISSN 0755-3390.
Eine Umstülpung der Sphäre stülpt die Standard-Einbettung der Einheitssphäre S2 von innen nach außen um, wobei die deformierte Sphäre zu jedem Zeitpunkt mathematisch glatt ist. Falten, Zwickpunkte, Löcher oder ähnliches dürfen bei der Umstülpung nicht auftreten. Die Sphäre darf sich jedoch während der Umstülpung selbst durchdringen. Mathematisch betrachtet ist die Umstülpung eine reguläre Homotopie zwischen der Sphäre und ihrer Punktspiegelung an ihrem Mittelpunkt. Ein konvexes, beschränktes Polyeder der Euler-Charakteristik 2 ist homöomorph zu einer Sphäre. Da ein Polyeder kein stetiges Tangentialbündel besitzt, kann es nicht mit einer regulären Homotopie umgestülpt werden, da diese bedingt, dass das durch die Homotopie induzierte Tangentialbündel stetig ist. Stattdessen wird verlangt, dass das Polyeder während der Umstülpung keine Faltkanten entwickelt und dass eine Nachbarschaft jeder Ecke während der gesamten Umstülpung injektiv ist. Faltkanten treten dann auf, wenn zwei Flächen des Polyeders, die sich eine Kante teilen, koplanar werden und wenn die beiden Flächen auf derselben Seite der Kante in der Ebene liegen, in der sie koplanar sind. Weiterhin wird verlangt, dass alle Selbstdurchdringungen, die zwischen Kanten auftreten, transversal sind. Sie dürfen also nicht an den Ecken der Kanten auftreten.
Eine Umstülpung der Sphäre (glatt oder polyedrisch) muss einen Vierfachpunkt enthalten. Dies ist ein Punkt, an dem sich vier unterschiedliche Teile der deformierten Sphäre transversal durchdringen. Für ein Polyeder bedeutet dies, dass sich vier unterschiedliche Flächen transversal durchdringen müssen. Vier Flächen werden durch vier Ebenen definiert, wovon jede durch drei Ecken definiert wird. Aufgrund der obigen Bedingungen dürfen keine der zwölf Ecken zusammenfallen. Daher ist die minimale Anzahl an Ecken, die ein Polyeder besitzen muss, um umgestülpt werden zu können, zwölf. Ein Kuboktaeder besitzt zwölf Ecken und der oben zitierte Artikel zeigt, dass ein Kuboktaeder tatsächlich umgestülpt werden kann.
Ein Kuboktaeder besitzt 14 Flächen: sechs Quadrate und acht gleichseitige Dreiecke. Um die Umstülpung durchzuführen, wird das Kuboktaeder so orientiert, das zwei gegenüberliegende Quadrate horizontal sind. Eines dieser Quadrate entspricht der Nordpolregion und das andere der Südpolregion, wenn das Kuboktaeder mit einer runden Sphäre identifiziert wird. Die vier verbleibenden Quadrate sind vertikal und liegen in der Tropenregion um den Äquator. Jedes der Quadrate wird nun in zwei gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Die vier Quadrate in der Tropenregion werden entlang des Äquators zerlegt. Die zwei polaren Quadrate werden in orthogonalen Richtungen zerlegt: die Kante, die am Nordpol eingefügt wird ist senkrecht zur Kante, die am Südpol eingefügt wird. Es ergibt sich eine triangulierte Version des Kuboktaeders mit 12 Ecken, 30 Kanten und 20 dreieckigen Flächen. Dies ist die Version des Kuboktaeders, die umgestülpt werden kann.
Der Originalansatz von Apéry ist, das Kuboktaeder in vier Schritten umzustülpen, woraus sich fünf verschiedene Polyeder als Modelle ergeben. Die Umstülpung besitzt eine zeitliche Symmetrie, so dass man sich die vier Schritte als eine Zeit, die von -2 bis 2 läuft, vorstellen kann. Von den fünf Modellen besitzen vier eine zweizählige Rotationssymmetrie. Das Zentralmodell zum Zeitpunkt 0 besitzt eine vierzählige Rotationssymmetrie. Das Zentralmodell ist das Modell, an dem das Kuboktaeder zur Hälfte umgestülpt worden ist. Zusätzlich zu den Start- und Endmodellen zu den Zeitpunkten -2 und 2, die beide Kuboktaeder sind, und dem Zentralmodell zum Zeitpunkt 0 sind die beiden Zwischenmodelle zu den Zeitpunkten -1 und 1 Einbettungen des Kuboktaeders. Apéry nennt sie Gastrula, da sie Kuboktaeder darstellen, bei denen das nördliche Hemi-Kuboktaeder so weit nach unten gedrückt wurde, dass es innerhalb des südlichen Hemi-Kuboktaeders liegt. In jedem der vier Schritte der Kuboktaeder deformiert, indem die Ecken zwischen zwei aufeinanderfolgenden Modellen linear interpoliert werden. Nachdem das Kuboktaeder vollständig umgestülpt wurde, liegt die Innenseite des Kuboktaeders außen. Außerdem liegen alle Punkte des umgestülpten Polyeders an den Antipoden des originalen Kuboktaeders.
Während der Erstellung dieses Videos stellte sich heraus, dass die lineare Interpolation zwischen dem Kuboktaeder und der Gastrula dazu führt, dass das deformierte Kuboktaeder sich für eine kurze Zeit selbst durchdringt kurz bevor die Gastrula erreicht wird. Daher wurde ein weiteres Modell, das von François Apéry entworfen wurde und von ihm Prä-Gastrula genannt wird (persönliche Kommunikation) an den Zeitpunkten -1,25 und 1,25 eingefügt. Dieses zusätzliche Modell verhindert die Selbstdurchdringungen bevor die Gastrula erreicht wird. Der Rest des Ansatzes von Apéry bleibt gleich: die Ecken werden zwischen aufeinanderfolgenden Modellen linear interpoliert.
Das Video hat vier Teile. Im ersten Teil wird das Kuboktaeder mit undurchsichtigen magentafarbenen Flächen auf der Außenseite und cyanfarbenen Flächen auf der Innenseite visualisiert. Außerdem werden die Kanten des Kuboktaeders als graue Röhren visualisiert. In den ersten zwei Schritten wird das Kuboktaeder in eine magentafarbene Gastrula deformiert. In dieser Phase treten keine Selbstdurchdringungen auf. Topologisch ist die Gastrula nach wie vor eine eingebettete Sphäre. Die nächsten zwei Schritte, vom Zeitpunkt -1 bis 1, sind die interessantesten der Umstülpung: das Kuboktaeder durchdringt sich selbst. Es ist keine Einbettung mehr, sondern eine Immersion. In dieser Phase wird immer mehr der cyanfarbenen Innenseite sichtbar. Zum Zeitpunkt 1 hat die Umstülpung eine cyanfarbene Gastrula erzeugt. An diesem Schritt ist das Kuboktaeder umgestülpt worden: es ist eine Einbettung der umgestülpten Sphäre. In den verbleibenden zwei Schritten wird die cyanfarbene Gastrula zum umgestülpten Kuboktaeder deformiert.
Im zweiten Teil zoomt das Video auf den zentralen Teil des sich deformierenden Kuboktaeders. Er wird mit transparenten Flächen visualisiert, um die Deformationen besser erkennen zu können, die in den zentralen zwei Schritten auftreten, in denen sich das Kuboktaeder selbst durchdringt. In diesem Teil wird das Kuboktaeder von Cyan nach Magenta umgestülpt.
Im dritten Teil wird das Kuboktaeder wieder mit undurchsichtigen Flächen visualisiert. Hierbei werden die Flächen mit unterschiedlichen Farben eingefärbt, die auf der Innen- und Außenseite identisch sind. Flächen auf dem nördlichen Hemi-Kuboktaeder werden in hellen Farben eingefärbt und Flächen auf dem südlichen Hemi-Kuboktaeder mit dunklen Farben. Dies zeigt, dass das nördliche Hemi-Kuboktaeder zu einem sehr kleinen Gebiet in der Gastrula deformiert wird. Es wird danach wieder vergrößert, bis das Zentralmodell erreicht wird. Danach wird das südliche Hemi-Kuboktaeder zu einem sehr kleinen Gebiet in der umgestülpten Gastrula deformiert. Es wird danach wieder vergrößert, bis das umgestülpte Kuboktaeder erreicht wird. Am umgestülpten Kuboktaeder kann man erkennen, dass das südliche Hemi-Kuboktaeder nun oben liegt: alle Flächen sind dunkel. Dies zeigt visuell, dass das Kuboktaeder durch eine Punktspiegelung im Vergleich zum originalen Kuboktaeder transformiert wurde.
Der vierte Teil des Videos zeigt das Kuboktaeder ohne die Röhren an den Kanten und mit transparenten Flächen in unterschiedlichen Farben. Die Selbstdurchdringungen, die während der Umstülpung auftreten, werden als orangefarbene Röhren visualisiert. Bei Umstülpungen der Sphäre (glatt oder polyedrisch) treten bestimmte topologische Ereignisse, in denen sich die Topologie der Selbstdurchdringungskurven ändert, auf. Diese werden als D0, D2, D1, T+, T- und Q bezeichnet. Die Videos Sphere eversion topological events D0 and D2.webm, Sphere eversion topological event D1.webm, Sphere eversion topological events T+ and T-.webm und Sphere eversion topological event Q.webm geben detaillierte Erklärungen dieser topologischen Ereignisse. In der Apéry-Umstülpung des Kuboktaeders treten folgende topologische Ereignisse auf: D0 (D0 D0) (D0 D0) (T+ T+) (D1 D1) (D1 D1 D1 Q D1 D1) (D1 D1) (T- T-) (D2 D2) (D2 D2) D2, wobei die Klammern topologische Ereignisse, die gleichzeitig auftreten, gruppieren.
Das Video kann mit einem geeigneten Videoplayer in einer Schleife abgespielt werden.
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Umstülpung der SphäreDie Umstülpung der Sphäre ist ein Verfahren aus der Differentialtopologie, mit dem die Sphäre im dreidimensionalen euklidischen Raum von innen nach außen umgestülpt wird, ohne dass dabei Knicke oder Risse entstehen. Die Sphäre darf sich während der Umstülpung selbst durchdringen. Anschaulich kann man sich vorstellen, die Sphäre sei aus einem Material hergestellt, das beliebig dehnbar und verformbar ist und sich selbst durchdringen kann, wobei Knicke, Risse und andere nicht stetige und nicht glatte Verformungen zur Zerstörung des Materials führen. Wenn man sich die Sphäre mit roter Farbe auf der Außenseite und mit blauer Farbe auf der Innenseite angestrichen vorstellt, wird durch die Umstülpung die blaue Innenseite nach außen gestülpt und die rote Außenseite nach innen. .. weiterlesen