Minimax Sphere Eversion
- George Francis, John M. Sullivan, Rob B. Kusner, Ken A. Brakke, Chris Hartman, Glenn Chappell: The Minimax Sphere Eversion, in: Hans-Christian Hege, Konrad Polthier (Hrsg.): Visualization and Mathematics — Experiments, Simulations and Environments, Springer, Berlin 1997, S. 3–20
- George Francis, John M. Sullivan, Chris Hartman: Computing Sphere Eversions, in: Hans-Christian Hege, Konrad Polthier (Hrsg.): Mathematical Visualization — Algorithms, Applications and Numerics, Springer, Berlin 1998, S. 237−255
- George Francis, John M. Sullivan: Visualizing a Sphere Eversion, in: IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 10(5):509–515, 2004.
Die Bilder in diesem Video wurden mit dem Programm AVN erzeugt, das in folgendem Artikel beschrieben wird:
- George K. Francis, Stuart Levy, John M. Sullivan: Making the Optiverse: A Mathematician's Guide to AVN, a Real-Time Interactive Computer Animator, in: Michele Emmer, Mirella Manaresi (Hrsg.): Mathematics, Art, Technology and Cinema, Springer, Berlin 2003, S. 39–52.
Die Sphäre wird von innen nach außen umgestülpt, wobei die deformierte Sphäre zu jedem Zeitpunkt mathematisch glatt ist. Falten, Zwickpunkte, Löcher oder ähnliches dürfen bei der Umstülpung nicht auftreten. Die Sphäre darf sich jedoch während der Umstülpung selbst durchdringen. Mathematisch betrachtet ist die Umstülpung eine reguläre Homotopie zwischen der Sphäre und ihrer Punktspiegelung an ihrem Mittelpunkt.
Die Sphäre ist außen magenta und innen orange eingefärbt. Das Video hat vier Teile. Im ersten Teil wird eine komplette Umstülpung der Sphäre gezeigt. Am Anfang ist die magentafarbene Seite außen. Nachdem die Umstülpung vollständig erfolgt ist, ist die orangefarbene Seite außen. Die deformierte Sphäre wird als triangulierte Oberfläche dargestellt. Außerdem werden die Selbstdurchdringungskurven, die während der Umstülpung auftreten, als graue Schläuche dargestellt.
Da der Prozess der Umstülpung zu komplexen Deformationen führt, die teilweise innerhalb des sichtbaren Teils der Oberfläche geschehen, zeigt der zweite Teil des Videos eine Umstülpung in die Gegenrichtung (orange zu magenta), bei der die Dreiecke Lücken aufweisen. Dies erlaubt es, das Innere der deformierten Sphäre und die Deformationen, die im ersten Teil durch die Oberfläche verdeckt werden, zu sehen.
Bei Umstülpungen der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse, in denen sich die Topologie der Selbstdurchdringungskurven ändert, auf. Diese werden als D0, D2, D1, T+, T- und Q bezeichnet. Die Videos Sphere eversion topological events D0 and D2.webm, Sphere eversion topological event D1.webm, Sphere eversion topological events T+ and T-.webm und Sphere eversion topological event Q.webm geben detaillierte Erklärungen dieser topologischen Ereignisse. In der Minimax-Umstülpung der Sphäre treten folgende topologische Ereignisse auf: D0 D0 (T+ T+) (D1 D1 D1 Q D1 D1) (T- T-) D2 D2, wobei die Klammern topologische Ereignisse, die gleichzeitig auftreten, gruppieren. Der dritte Teil des Videos zeigt eine Umstülpung in der Vorwärtsrichtung (magenta zu orange) mit Dreiecken mit Lücken. Die deformierte Sphäre wird um die Zeitpunkte herum, an denen Gruppen von topologischen Ereignissen auftreten, abgedunkelt, so dass die Selbstdurchdringungskurven deutlicher hervortreten. Dies erzeugt eine klarere Sicht auf die topologischen Ereignisse.
Schließlich wird im vierten Teil des Videos eine Umstülpung in Gegenrichtung (orange zu magenta) mit ausgefüllten Dreiecken gezeigt.
Das Video kann mit einem geeigneten Videoplayer in einer Schleife abgespielt werden.
Relevante Bilder
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Umstülpung der SphäreDie Umstülpung der Sphäre ist ein Verfahren aus der Differentialtopologie, mit dem die Sphäre im dreidimensionalen euklidischen Raum von innen nach außen umgestülpt wird, ohne dass dabei Knicke oder Risse entstehen. Die Sphäre darf sich während der Umstülpung selbst durchdringen. Anschaulich kann man sich vorstellen, die Sphäre sei aus einem Material hergestellt, das beliebig dehnbar und verformbar ist und sich selbst durchdringen kann, wobei Knicke, Risse und andere nicht stetige und nicht glatte Verformungen zur Zerstörung des Materials führen. Wenn man sich die Sphäre mit roter Farbe auf der Außenseite und mit blauer Farbe auf der Innenseite angestrichen vorstellt, wird durch die Umstülpung die blaue Innenseite nach außen gestülpt und die rote Außenseite nach innen. .. weiterlesen