Sphere eversion topological events D0 and D2

Autor/Urheber:

Carsten Steger

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Quelle:

Wikimedia Commons

Größe:

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Beschreibung:

Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese topologischen Ereignisse beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Das topologische Ereignis D₀ beschreibt die Entstehung einer Selbstdurchdringungskurve zwischen zwei verschiedenen Teilen der deformierten Sphäre. Wenn die zwei Teile der Sphäre aufeinander zu bewegt werden, berühren sie sich zunächst in einem einzelnen Punkt. Wenn sie weiterbewegt werden, entsteht zwischen ihnen eine geschlossene Selbstdurchdringungskurve. Analog dazu beschreibt das topologische Ereignis D₂ das Verschwinden einer Selbstdurchdringungskurve zwischen zwei verschiedenen Teilen der deformierten Sphäre. Die zwei sich durchdringenden Teile werden auseinandergezogen, bis die Selbstdurchdringungskurve auf einen Punkt zusammenschrumpft. Wenn die zwei Teile weiter auseinandergezogen werden, verschwindet die Selbstdurchdringungskurve. Die topologischen Ereignisse D₀ und D₂ können als Spiegelungen von einander in Bezug auf die Zeit betrachtet werden, d. h. D₂ kann angesehen werden als D₀ rückwärts betrachtet und umgekehrt.

Im Video werden die beiden Teile der deformierten Sphäre als topologische Kreisscheiben in der Form von elliptischen Paraboloiden visualisiert. Im ersten Teil zeigt das Video das topologische Ereignis D₀: die zwei Paraboloide bewegen sich aufeinander zu, bis sie sich in einem Punkt berühren. Daraufhin entsteht eine geschlossene Selbstdurchdringungskurve. Im zweiten Teil zeigt das Video das topologische Ereignis D₂: die zwei Paraboloide entfernen sich voneinander, bis die geschlossene Selbstdurchdringungskurve auf einen Punkt zusammengezogen worden ist und danach verschwindet. Die gesamte Sequenz wird im Video ein zweites Mal wiederholt. Die zwei verschiedenen Teile der Sphäre werden als transparente Oberflächen in Magenta und Cyan dargestellt. Um die Selbstdurchdringungskurve hervorzuheben, wird sie als eine weiße Röhre dargestellt (oder als weiße Kugel am Punkt, an dem sich die Paraboloide tangential berühren).

Die Terminologie D₀ und D₂ für diese topologischen Ereignisse wird in den folgenden Artikeln beschrieben:

• Bernard Morin, Jean-Pierre Petit: Problématique du retournement de la sphère. In: Comptes rendus de l'Académie des sciences, série A. Volume 287, 1978, S. 767–770.
• Bernard Morin, Jean-Pierre Petit: Le retournement de la sphère. In: Pour la science. Volume 15, 1979, S. 34–49.
• François Apéry: An Algebraic Halfway Model for the Eversion of the Sphere (with an Appendix by Bernard Morin). In: Tohoku Mathematical Journal, Second Series. Volume 44, No. 1, 1992, S. 103–150.

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CC BY-SA 4.0

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