Sphere eversion topological event D1

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Carsten Steger

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Quelle:

Wikimedia Commons

Größe:

1080 x 1080 Pixel (1175866 Bytes)

Beschreibung:

Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese topologischen Ereignisse beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Das topologische Ereignis D₁ beschreibt eine Veränderung der Topologie des Zusammenhangs der Selbstdurchdringungskurven zwischen zwei verschiedenen Teilen der deformierten Sphäre. Das Ereignis D₁ beginnt mit zwei disjunkten Selbstdurchdringungskurven (oder zwei disjunkten Teilen einer einzigen Selbstdurchdringungskurve), die Punkte in horizontaler Richtung verbinden. Wenn die beiden Teile der Sphäre gegeneinander bewegt werden, gehen die Selbstdurchdringungskurven durch eine Konfiguration, die einem X ähnelt. Wenn die beiden Teile der Sphäre weiterbewegt werden, verbinden die beiden Selbstdurchdringungskurven Punkte in vertikaler Richtung. Daher verursacht das Ereignis D₁ einen Änderung darin, welche Teile der Selbstdurchdringungskurven mit welchen anderen Teilen verbunden sind. Ein Ereignis D₁ tritt z. B. dann auf, wenn sich eine einzelne geschlossene Selbstdurchdringungskurve in zwei disjunkte geschlossene Selbstdurchdringungskurven aufspaltet oder umgekehrt sich zwei geschlossene Selbstdurchdringungskurven zu einer einzigen vereinigen.

Im Video werden die beiden Teile der deformierten Sphäre als topologische Kreisscheiben in der Form von eines hyperbolischen Paraboloids bzw. einer Ebene visualisiert. Das Video zeigt, wie sich das hyperbolische Paraboloid und die Ebene gegeneinander bewegen. Im ersten Teil des Videos bewegt sich die Ebene nach oben und das hyperbolische Paraboloid nach unten. Am Anfang sind die Selbstdurchdringungskurven in horizontaler Richtung verbunden. Am Punkt, an dem die Ebene den Sattelpunkt des hyperbolischen Paraboloids erreicht, formen die Selbstdurchdringungskurven ein X. Danach sind die Selbstdurchdringungskurven in vertikaler Richtung verbunden. Die Bewegungsrichtungen der Ebene und des hyperbolischen Paraboloids werden im zweiten Teil des Videos umgekehrt, wodurch die Änderung der Topologie in umgekehrter Richtung auftritt. Die gesamte Sequenz wird im Video ein zweites Mal wiederholt. Die zwei verschiedenen Teile der Sphäre werden als transparente Oberflächen in Magenta und Cyan dargestellt. Um die Selbstdurchdringungskurven hervorzuheben, werden sie als weiße Röhren dargestellt. Das Ereignis D₁ kann man sich auch als das Steigen der Wasseroberfläche (die cyanfarbene Ebene im Video) an einem Isthmus vorstellen. Das steigende Wasser trennt den Isthmus in zwei separate Landmassen. Daher wird dieses topologische Ereignis auch als Isthmus-Ereignis bezeichnet.

Die Terminologie D₁ für dieses topologische Ereignis wird in den folgenden Artikeln beschrieben:

• Bernard Morin, Jean-Pierre Petit: Problématique du retournement de la sphère. In: Comptes rendus de l'Académie des sciences, série A. Volume 287, 1978, S. 767–770.
• Bernard Morin, Jean-Pierre Petit: Le retournement de la sphère. In: Pour la science. Volume 15, 1979, S. 34–49.
• François Apéry: An Algebraic Halfway Model for the Eversion of the Sphere (with an Appendix by Bernard Morin). In: Tohoku Mathematical Journal, Second Series. Volume 44, No. 1, 1992, S. 103–150.

Lizenz:

CC BY-SA 4.0

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