Hauptinvariante

Die Hauptinvarianten eines Tensors sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms, dessen Lösungen seine Eigenwerte sind.

Die Koeffizienten eines Tensors referenzieren auf Dyaden von Vektoren, die sich ihrerseits komponentenweise bezüglich einer Vektorraumbasis darstellen lassen. Bei einem Wechsel der Basis ändern sich die Koeffizienten der Vektoren in charakteristischer Weise, nicht aber die Beträge der Vektoren. Der Betrag eines Vektors ist also invariant gegenüber einem Wechsel der Basis. In gleicher Weise sind die Hauptinvarianten des Tensors invariant gegenüber einem Wechsel der Basis, daher der Name.

Die Hauptinvarianten symmetrischer Tensoren spielen eine zentrale Rolle in der Materialtheorie. Eine wichtige Anforderung an Materialmodelle leitet sich daraus ab, dass ein bewegter Beobachter immer dasselbe Materialverhalten misst wie ein ruhender. Diese Eigenschaft wird materielle Objektivität genannt. Die Bewegung eines Beobachters wird mathematisch als Wechsel des Bezugssystems und somit als Wechsel der Vektorraumbasis beschrieben. Die Hauptinvarianten sind also Größen, die alle Beobachter in gleicher Weise wahrnehmen und die daher für die Materialmodellierung geeignet sind. Beispiele für Materialmodelle, die die Hauptinvarianten benutzen, sind das Hooke'sche Gesetz, die Hyperelastizität und Plastizitätstheorie.

Die Darstellung erfolgt in drei Dimensionen für Tensoren zweiter Stufe, lässt sich aber in einfacher Weise auf mehr Dimensionen verallgemeinern.

Definition

Gegeben sei ein Tensor zweiter Stufe T, der Vektoren aus dem Vektorraum 𝕍³ in denselben abbildet. Dann lautet sein charakteristisches Polynom:

p(λ) := det(T−λ1) = −λ³+I₁λ²−I₂λ+I₃.

Darin ist λ eine reelle oder komplexe Zahl und die Koeffizienten I_1,2,3 sind die drei Hauptinvarianten

I₁ := Sp(T) = T:1

I₂ := ½[Sp(T)²−Sp(T·T)] = Sp(cof(T)) = Sp(adj(T))

I₃ := det(T)

Das Frobenius-Skalarprodukt „:“ von Tensoren ist definiert als

A:B := Sp(A^⊤·B)

Der Kofaktor lautet in drei Dimensionen

cof(T) := adj(T)^⊤ := (T·T−I₁T+I₂1)^⊤ = I₃T^⊤−1

wobei letztere Identität nur gilt, wenn der Tensor invertierbar ist und mithin det(T)≠0 ist.

Berechnung der Hauptinvarianten

Für Tensoren zweiter Stufe ist die Addition und Multiplikation mit einem Skalar definiert, weshalb die Menge aller Tensoren zweiter Stufe einen Vektorraum bildet, der Vektorraumbasen besitzt, die aus Dyaden bestehen, die sich wiederum mit dem dyadischen Produkt „⊗“ zweier Vektoren berechnen. Sei 𝕍³ der Vektorraum der geometrischen Vektoren. Dann ist Lin(𝕍³,𝕍³) der Vektorraum der Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus dem 𝕍³ in den 𝕍³ abbilden. Bezüglich einer Vektorraumbasis des Lin(𝕍³,𝕍³) kann jeder Tensor komponentenweise dargestellt werden und aus diesen Komponenten können die Hauptinvarianten berechnet werden, die ja unabhängig von der Wahl der Basis sind.

Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich der Standardbasis

Sei ê_1,2,3 die Standardbasis des 𝕍³ und

${\displaystyle {\mathsf {\mathbf {T} =\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}{\mathsf {T_{11}}}&{\mathsf {T_{12}}}&{\mathsf {T_{13}}}\\{\mathsf {T_{21}}}&{\mathsf {T_{22}}}&{\mathsf {T_{23}}}\\{\mathsf {T_{31}}}&{\mathsf {T_{32}}}&{\mathsf {T_{33}}}\end{pmatrix}}}}}$

ein Tensor mit den Koeffizienten T_ij bezüglich dieser Standardbasis. Dann berechnet sich

I₁(T) = T₁₁+T₂₂+T₃₃

I₂(T) = T₁₁T₂₂+T₁₁T₃₃+T₂₂T₃₃−T₁₂T₂₁−T₁₃T₃₁−T₂₃T₃₂

I₃(T) = T₁₁(T₂₂T₃₃−T₂₃T₃₂)+T₁₂(T₂₃T₃₁−T₂₁T₃₃)+T₁₃(T₂₁T₃₂−T₂₂T₃₁)

Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich einer allgemeinen Basis

Seien ${\displaystyle {\mathsf {{\vec {a}}_{1,2,3}}}}$ und ${\displaystyle {\mathsf {{\vec {b}}_{1,2,3}}}}$ zwei beliebige Basissysteme des 𝕍³ und

${\displaystyle {\mathsf {\mathbf {T} =\sum _{i,j=1}^{3}T^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}={\begin{pmatrix}{\mathsf {T^{11}}}&{\mathsf {T^{12}}}&{\mathsf {T^{13}}}\\{\mathsf {T^{21}}}&{\mathsf {T^{22}}}&{\mathsf {T^{23}}}\\{\mathsf {T^{31}}}&{\mathsf {T^{32}}}&{\mathsf {T^{33}}}\end{pmatrix}}_{{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}}}}}$

ein Tensor mit den Koeffizienten T^ij bezüglich dieser Basen. Dann berechnet sich

${\displaystyle {\mathsf {\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )=\sum _{i,j=1}^{3}T^{ij}{\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j}}}}$

${\displaystyle {\mathsf {\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} )={\frac {1}{2}}\sum _{i,j,k,l=1}^{3}T^{ij}T^{kl}[({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j})({\vec {a}}_{k}\cdot {\vec {b}}_{l})-({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{l})({\vec {a}}_{k}\cdot {\vec {b}}_{j})]}}}$

${\displaystyle {\mathsf {\mathrm {I} _{3}(\mathbf {T} )={\begin{vmatrix}{\mathsf {T^{11}}}&{\mathsf {T^{12}}}&{\mathsf {T^{13}}}\\{\mathsf {T^{21}}}&{\mathsf {T^{22}}}&{\mathsf {T^{23}}}\\{\mathsf {T^{31}}}&{\mathsf {T^{32}}}&{\mathsf {T^{33}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\mathsf {\vec {a}}}_{1}&{\mathsf {\vec {a}}}_{2}&{\mathsf {\vec {a}}}_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\mathsf {\vec {b}}}_{1}&{\mathsf {\vec {b}}}_{2}&{\mathsf {\vec {b}}}_{3}\end{vmatrix}}}}}$

wo die senkrechten Striche |…| die Determinante bilden und die letzten beiden Determinanten den Spatprodukten der Basisvektoren entsprechen.

Berechnung mit dem Skalarprodukt

Mit dem #Skalarprodukt „:“ von Tensoren lauten die Hauptinvarianten:

I₁(T) = T:1,

I₂(T) = ¹⁄₂ [(T:1)²−T^⊤:T],

I₃(T) = ¹⁄₃ cof(T):T.

Diese Formeln lassen sich in höhere Dimensionen übertragen, siehe Charakteristisches Polynom#Charakterisierung der Koeffizienten als Lösung eines linearen Gleichungssystems und Kofaktormatrix.

Speziell in drei Dimensionen gilt:

I₂(T) = cof(T):1 = adj(T):1

Berechnung mit dem äußeren Tensorprodukt

Das äußere Tensorprodukt „#“ ist in drei Dimensionen mittels des dyadischen- „⊗“ und des Kreuzprodukts „ד definiert über

${\displaystyle {\mathsf {({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})}}}$

Mit diesem und dem #Skalarprodukt „:“ von Tensoren bekommen die drei Hauptinvarianten die Darstellungen

I₁(T) = ¹⁄₂ (T#1):1,

I₂(T) = ¹⁄₂ (T#T):1,

I₃(T) = ¹⁄₆ (T#T):T.

Hier zeigt sich ¹⁄₂ (T#T) = cof(T).

Zusammenhang mit anderen Invarianten

Eigenwerte

Die Eigenwerte λ_1,2,3 eines Tensors zweiter Stufe sind die Lösungen p(λ)=0 seines charakteristischen Polynoms und ebenfalls Invarianten. Nach dem Satz von Vieta gilt:

I₁ = λ₁+λ₂+λ₃,

I₂ = λ₁λ₂+λ₂λ₃+λ₃λ₁,

I₃ = λ₁λ₂λ₃.

Betrag eines Tensors

Das Betragsquadrat eines Tensors

∥T∥²=T:T=Sp(T^⊤·T)

definiert mit der Frobeniusnorm ∥(·)∥ und dem #Skalarprodukt „:“, lässt sich im Allgemeinen nicht mit den drei Hauptinvarianten darstellen. Es gelingt aber bei symmetrischen oder schiefsymmetrischen Tensoren.

Bei symmetrischen Tensoren ist T=T^⊤ und daher

I₂(T) = ¹⁄₂ [Sp(T)²−Sp(T·T)] = ¹⁄₂ [Sp(T)²−Sp(T^⊤·T)] = ¹⁄₂ [I₁(T)²−∥T∥²]

⇒ ∥T∥²=I₁(T)²−2·I₂(T)

Bei schiefsymmetrischen Tensoren ist T=−T^⊤ und daher Sp(T)=−Sp(T)=0 sowie

I₂(T) = ¹⁄₂ [Sp(T)²−Sp(T·T)] = ¹⁄₂ Sp(T^⊤·T) = ¹⁄₂ ∥T∥²

⇒ ∥T∥²=2·I₂(T)

Spuren der Potenzen eines Tensors

Die drei Hauptinvarianten lassen sich auch mit den Spuren der Potenzen eines Tensors darstellen, die ebenfalls Invarianten sind. Sei T∈Lin(𝕍³,𝕍³) und

${\displaystyle {\mathsf {\mathrm {J} _{n}:=\mathrm {Sp} (\mathbf {T} ^{n}):=\mathrm {Sp} (\underbrace {\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} \cdot \ldots \cdot \mathbf {T} } _{n{\text{-mal}}}),\quad n=1,2,3,\ldots \;,}}}$

dann gilt

I₁(T) = J₁(T)

I₂(T) = ¹⁄₂[J₁(T)²−J₂(T)],

I₃(T) = ¹⁄₃[J₃(T)−I₁(T)·J₂(T)+I₂(T)·J₁(T)].

Letzteres folgt aus dem Satz von Cayley-Hamilton

−T³+I₁(T)·T²−I₂(T)·T+I₃(T)·1=0

wenn davon die Spur genommen wird. Weitere Formeln entstehen, wenn I₂(T) durch J₂(T) ausgedrückt wird oder umgekehrt:

I₃(T) = ¹⁄₆[2·J₃(T)−3·J₁(T)·J₂(T)+J₁(T)³] = ¹⁄₃[J₃(T)+3·I₁(T)·I₂(T)−I₁(T)³]

Eigenschaften

Invarianz gegen zyklische Vertauschungen

Weil die charakteristischen Polynome det(A·X−λ1) und det(X·A−λ1) für zwei Tensoren zweiter Stufe A,X∈Lin(𝕍³,𝕍³) dieselbe Form aufweisen, gilt für alle Hauptinvarianten (k=1,2,3):

I_k(A·X) = I_k(X·A)

Mit X=B·C folgt daraus die zyklische Vertauschbarkeit der Tensoren in einem Matrizenprodukt:

I_k(A·B·C) = I_k(B·C·A) = I_k(C·A·B) für k=1,2,3

Ableitungen der Hauptinvarianten

In der Hyperelastizität wird die Formänderungsenergie, die aufgebracht werden muss, um einen Körper zu verformen, manchmal als Funktion der Hauptinvarianten des Verzerrungstensors modelliert. Die Spannungen ergeben sich dann aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach dem Verzerrungstensor, wofür die Ableitungen der Hauptinvarianten nach dem Verzerrungstensor benötigt werden. Daher lohnt es sich, diese Ableitungen bereitzustellen.

Die Ableitung einer skalarwertigen Funktion ${\displaystyle f(\mathbf {T} )}$ nach dem Tensor T∈Lin(𝕍³,𝕍³) ist der Tensor A, für dessen #Skalarprodukt „:“ mit H gilt:

${\displaystyle \mathbf {A\,\colon H} =\left.{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}\quad }$für alle H∈Lin(𝕍³,𝕍³).

Dann wird auch

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=\mathbf {A} }$.

geschrieben. So berechnen sich

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}=\operatorname {I} _{1}(\mathbf {H} )=\mathbf {1} :\mathbf {H} }$, daher ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} )}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=\mathbf {1} }$,

und

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} \operatorname {I} _{2}(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {1}{2}}[\operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )^{2}-\mathrm {I} _{1}((\mathbf {T} +s\mathbf {H} )^{2})]\right|_{s=0}\\&=\left.{\frac {1}{2}}[2\operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )\operatorname {I} _{1}(\mathbf {H} )-2\operatorname {I} _{1}((\mathbf {T} +s\mathbf {H} )\cdot \mathbf {H} )]\right|_{s=0}\\&=\operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} )\operatorname {I} _{1}(\mathbf {H} )-\operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {H} ),\\{\text{daher }}{\frac {\mathrm {d} \operatorname {I} _{2}(\mathbf {T} )}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}&=\operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} )\mathbf {1} -\mathbf {T} ^{\top }.\end{aligned}}}$

Mit dem charakteristischen Polynom und dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei det(T)≠0, sodass T⁻¹ existiert:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {det} (\mathbf {T} +s\mathbf {H} )&=\mathrm {det} \left(s\mathbf {T} \cdot \left({\frac {1}{s}}\mathbf {1} +\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} \right)\right)=\operatorname {det} (\mathbf {T} )s^{3}\operatorname {det} \left(\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} +{\frac {1}{s}}\mathbf {1} \right)\\&=\operatorname {det} (\mathbf {T} )s^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}+{\frac {1}{s^{2}}}\operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} )+{\frac {1}{s}}\operatorname {I} _{2}(\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} )+\operatorname {I} _{3}(\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} )\right)\\&=\operatorname {det} (\mathbf {T} )[1+s\operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} )+s^{2}\operatorname {I} _{2}(\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} )+s^{3}\operatorname {I} _{3}(\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} )].\end{aligned}}}$

Daraus berechnet sich die Ableitung

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\operatorname {det} (\mathbf {T} +s\mathbf {H} )\right|_{s=0}&=\operatorname {det} (\mathbf {T} )\operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} )=\operatorname {cof} (\mathbf {T} ):\mathbf {H} \\{\text{daher }}{\frac {\mathrm {d} \operatorname {I} _{3}(\mathbf {T} )}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}&=\operatorname {cof} (\mathbf {T} )\end{aligned}}}$

Mit der Darstellung der Determinante mit den #Spuren der Potenzen eines Tensors kann nachgewiesen werden, dass die letzten beiden Identitäten mit cof(T) auch für det(T)=0 gelten.

Anwendungen

Die folgenden Beispiele zeigen die Benutzung der Hauptinvarianten in Materialtheorien und oft benutzten Materialmodellen:

1. Hookesches Gesetz: Der Spannungstensor ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ berechnet sich aus dem Verzerrungstensor ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ gemäß ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2G\left({\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {\nu }{1-2\nu }}{\color {red}\mathrm {I} _{1}({\boldsymbol {\varepsilon }})}\mathbf {1} \right)}$. Darin ist ${\displaystyle G}$ der Schubmodul und ${\displaystyle \nu }$ die Querkontraktionszahl.
2. Hyperelastizität: Die Formänderungsenergiedichte ψ im Neo-Hooke Modell ist ψ=μ[I₁(b)−3]. Darin ist μ ein Materialparameter und b der linke Cauchy-Green Tensor.
3. Plastizitätstheorie, Festigkeitslehre: Die v. Mises Vergleichsspannung ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{v}={\sqrt {-3{\color {red}\mathrm {I} _{2}({\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} })}}}}$ ist eine Funktion der zweiten Hauptinvariante des Spannungsdeviators ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {\color {red}\mathrm {I} _{1}({\boldsymbol {\sigma }})}{3}}\mathbf {1} }$.
4. Inkompressibilität: Hier ist die dritte Hauptinvariante des Deformationsgradienten F an jedem materiellen Punkt konstant: I₃(F)≡1.
5. Newtonsches Fluid: Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose, isotrope Fluid lautet σ=−p1+λSp(d)1+2μd. Darin ist d:=½(l+l^⊤) der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten l.

Beispiel

Es wird der Nachweis der Invarianz der Spur eines Tensors erbracht. Seien ${\displaystyle {\vec {a}}_{1,2,3}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}_{1,2,3}}$ zwei beliebige Basissysteme des 𝕍³ und

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\rightarrow \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j}}$.

Beim Wechsel zu anderen Basen ${\displaystyle {\vec {c}}_{1,2,3}}$ und ${\displaystyle {\vec {d}}_{1,2,3}}$ mit dualen Basen ${\displaystyle {\vec {c}}^{1,2,3}}$ und ${\displaystyle {\vec {d}}^{1,2,3}}$ berechnen sich die neuen Koeffizienten ${\displaystyle T_{ij}^{\mathrm {*} }}$ gemäß

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} =&\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}=\sum _{i,j,k,l=1}^{3}T_{ij}({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {c}}^{k}){\vec {c}}_{k}\otimes ({\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {d}}^{l}){\vec {d}}_{l}\\=:&\sum _{k,l}T_{kl}^{\ast }{\vec {c}}_{k}\otimes {\vec {d}}_{l}=:\mathbf {T} ^{\ast }\\\rightarrow T_{kl}^{\ast }=&\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {c}}^{k})({\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {d}}^{l})\end{aligned}}}$

Die Spur mit den neuen Koeffizienten ${\displaystyle T_{kl}^{\ast }}$ ergibt sich also zu

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (\mathbf {T} ^{\ast })=&\mathrm {Sp} \left(\sum _{k,l=1}^{3}T_{kl}^{\ast }{\vec {c}}_{k}\otimes {\vec {d}}_{l}\right)=\sum _{k,l=1}^{3}T_{kl}^{\ast }{\vec {c}}_{k}\cdot {\vec {d}}_{l}\\=&\sum _{i,j,k,l=1}^{3}T_{ij}({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {c}}^{k})({\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {d}}^{l}){\vec {c}}_{k}\cdot {\vec {d}}_{l}\\=&\sum _{i,j,k,l=1}^{3}T_{ij}({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {c}}^{k}){\vec {c}}_{k}\cdot ({\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {d}}^{l}){\vec {d}}_{l}=\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j}=\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )\end{aligned}}}$

was zu zeigen war.

Siehe auch

• Formelsammlung Tensoranalysis
• Formelsammlung Tensoralgebra
• Vektorinvariante
• Euklidische Transformation

Literatur

Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, doi:10.1007/978-3-642-24119-2.