Formelsammlung Tensoralgebra

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines

Notation

  • Operatoren wie werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
    • .
      Ausnahme:
      Die imaginäre Einheit und die #Vektorinvariante werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
  • Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum .
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
      Ausnahme #Dualer axialer Vektor
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von ist ê1,2,3.
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in mit einem Pfeil versehen.
    • Dreiergruppen von Vektoren wie in oder bezeichnen eine rechtshändige Basis von .
    • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist dual zu .
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge .
  • Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in wird über diesen Index summiert:
      .
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in wird über diese summiert:
      .
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie in , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
      .

Glossar

Reservierte und besondere Symbole

FormelzeichenAbschnitt in der FormelsammlungWikipedia-Artikel
#EinheitstensorEinheitstensor
#Orthogonale TensorenOrthogonaler Tensor
#EigenwerteEigenwertproblem
#Kronecker-DeltaKronecker-Delta
#PermutationssymbolPermutationssymbol
#Fundamentaltensor 3. StufeEpsilon-Tensor
#Axialer Tensor oder KreuzproduktmatrixKreuzprodukt
#Dualer axialer VektorKreuzprodukt
#VektorinvarianteVektorinvariante
Imaginäre Einheit

Zeichen für Operatoren

FormelzeichenAbschnitt in der FormelsammlungWikipedia-Artikel
Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #TensorproduktSkalarprodukt
#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von TensorenKreuzprodukt
#Skalarprodukt von TensorenFrobenius-Skalarprodukt
#Dyadisches ProduktDyadisches Produkt
#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
#Äußeres TensorproduktÄußeres Tensorprodukt
#BetragFrobeniusnorm
Betrag der Zahl x oder des Vektors , #Determinante des Tensors ADeterminante

Tensorfunktionen

FormelzeichenAbschnitt in der FormelsammlungWikipedia-Artikel
#SpurSpur (Mathematik), Hauptinvariante
#Zweite HauptinvarianteHauptinvariante
#DeterminanteDeterminante, Hauptinvariante
sym#Symmetrischer AnteilSymmetrische Matrix
skw, skew#Schiefsymmetrischer AnteilSchiefsymmetrische Matrix
adj#AdjunkteAdjunkte
cof#KofaktorMinor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev#DeviatorDeviator, Spannungsdeviator
sph#KugelanteilKugeltensor

Indizes

FormelzeichenAbschnitt in der FormelsammlungWikipedia-Artikel
#Tensorkomponenten
#TranspositionTransponierte Matrix
Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
#InverseInverse Matrix
#Transposition der #Inverse
#Symmetrischer AnteilSymmetrische Matrix
#Schiefsymmetrischer AnteilSchiefsymmetrische Matrix
#DeviatorDeviator, Spannungsdeviator
#KugelanteilKugeltensor
Tensor n-ter Stufe
#Dualer axialer VektorKreuzprodukt

Mengen

FormelzeichenElemente
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen
Vektoren
Tensoren zweiter Stufe
#Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta

Für Summen gilt dann z. B.

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol

Kreuzprodukt:

Spaltenvektoren und Matrizen

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

Drei Vektoren können spaltenweise in einer 3×3-Matrix arrangiert werden:

Die Determinante der Matrix

ist

Also gewährleistet , dass die Vektoren eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

worin die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich .

Vektoralgebra

Basis und Duale Basis

Basisvektoren

Duale Basisvektoren

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

mit dem Spatprodukt

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen :

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren zu sich selbst dual:

Berechnung von Vektorkomponenten

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren

Wechsel der Basis bei Vektoren

Wechsel von

Basis mit dualer Basis

nach

Basis mit dualer Basis :

Matrizengleichung:

Dyadisches Produkt

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung

Multiplikation mit einem Skalar:

Distributivität:

Skalarprodukt:

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von dargestellt werden:

mit Komponenten .

Die Dyaden und bilden Basissysteme von .

Operatoren

Transposition

Abbildung

Vektortransformation

Abbildung oder

Dyaden:

Allgemeine Tensoren:

Symbolisch:

Tensorprodukt

Abbildung

Skalarprodukt von Tensoren

Abbildung

Definition über die #Spur:

Eigenschaften:

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor

Abbildung oder

Dyaden:

Allgemeine Tensoren:

Symmetrische Tensoren:

Insbesondere Kugeltensoren:

Schiefsymmetrische Tensoren:

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

Mehrfach:

Meistens ist aber:

Kreuzprodukt von Tensoren

Abbildung

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe .

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

Mit #Einheitstensor:

Mehrfachprodukte:

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Skalarkreuzprodukt von Tensoren

Abbildung

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

Allgemein:

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung

Äußeres Tensorprodukt

Abbildung

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

Grundlegende Eigenschaften:

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

#Hauptinvarianten:

Weitere Eigenschaften:

Aber meistens:

.

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

Tensorkomponenten

Wechsel der Basis

Die Komponenten ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor :

Allgemein:

Basiswechsel mit :

Bilinearform und Identität von Tensoren

Definition für einen Tensor A:

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

Kofaktor

Definition

#Invarianten:

Wenn λ1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ1λ2, λ2λ3, λ3λ1.

#Hauptinvarianten:

#Betrag:

Weitere Eigenschaften:

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

Kreuzprodukt und Kofaktor:

Adjunkte

Definition:

#Hauptinvarianten:

#Betrag:

Weitere Eigenschaften:

Inverse

Definition

Die Inverse ist nur definiert, wenn

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor :

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also , dann gilt:

Satz von Cayley-Hamilton:

worin die drei #Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

Inverse eines Tensorprodukts:

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

Invertierungsformeln:

Eigensystem

Eigenwertproblem

mit Eigenwert und Eigenvektor . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte

Charakteristische Gleichung

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :

Eigenvektoren

Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Bestimmungsgleichung:

Tensor :

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem :

Geometrische Vielfachheit 1:

Geometrische Vielfachheit 2:

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1,2,3} zyklisch vertauscht werden.

Symmetrischen Tensoren: Für das Betragsquadrat der Komponenten der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren des (komplexen) Tensors gilt mit dessen Eigenwerten und den Eigenwerten der Hauptuntermatrizen von :[1]

Eigensystem symmetrischer Tensoren

Sei symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass sie ein Rechtssystem bilden.

Hauptachsentransformation mit Eigenwerten und Eigenvektoren des symmetrischen Tensors A:

bzw.

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren

Sei schiefsymmetrisch.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von A ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren

Sei und eine Basis und die dazu duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte

Der Tensor

hat die Eigenwerte

und Eigenvektoren

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den dualen Eigenvektoren

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte

Der Tensor

hat die Eigenwerte

und Eigenvektoren

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den Eigenvektoren

Invarianten

Eigenwerte des Tensors

Die #Eigenwerte sind Invarianten.

Hauptinvarianten

#Spur:I1(A), Sp(A)
#Zweite Hauptinvariante:I2(A)
#Determinante:I3(A), det(A), │A

Charakteristisches Polynom

Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:

Spezialfall:

Satz von Cayley-Hamilton:

Spur

Abbildung

mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.

Linearität:

In Komponenten:

Zweite Hauptinvariante

Abbildung

mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.

In Komponenten:

Determinante

Abbildung

mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.

Determinantenproduktsatz:

Multiplikation mit Skalaren :

In Komponenten:

Zusammenhang mit den anderen Hauptinvarianten:

Zusammenhang mit dem Spatprodukt:

Zusammenhang mit #Äußeres Tensorprodukt:

Zusammenhang mit dem #Kofaktor:

Betrag

Abbildung

Falls :

Falls :

Dualer axialer Vektor

Für #Schiefsymmetrische Tensoren gibt es einen dualen axialen Vektor für den gilt:

für alle

Der duale axiale Vektor ist proportional zur #Vektorinvariante:

Berechnung mit #Fundamentaltensor 3. Stufe , #Kreuzprodukt von Tensoren oder #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

#Symmetrische Tensoren und #Kugeltensoren haben keinen dualen axialen Vektor:

Ein #Symmetrischer Anteil oder #Kugelanteil trägt nichts zum dualen axialen Vektor bei:

Seien x eine beliebige Zahl, beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Vektorinvariante

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante:

Die Eigenschaften des dualen axialen Vektors sind hierher übertragbar. Seien x eine beliebige Zahl, beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Spezielle Tensoren

Dyade

Definition

Kofaktor:

#Invarianten:

#Eigensystem:

Dyadentripel

Gegeben ein beliebiger Tensor 2. Stufe A. Dieser kann immer als Summe dreier Dyaden dargestellt werden:

mit Spaltenvektoren , Zeilenvektoren und .

#Hauptinvarianten ():

#Betrag:

#Dualer axialer Vektor:

#Vektorinvariante:

#Kofaktor:

#Inverse:

Einheitstensor

mit

Allgemein:

#Transposition und #Inverse:

Kofaktor:

Vektortransformation

Tensorprodukt

Skalarprodukt

#Invarianten:

#Eigenwerte:

Alle Vektoren sind #Eigenvektoren.

Unimodulare Tensoren

Definition

Kofaktor:

Determinantenproduktsatz:

Orthogonale Tensoren

Definition

Kofaktor:

#Invarianten ( ist der Drehwinkel):

Eigentlich orthogonaler Tensor , entspricht einer Drehung.

Uneigentlich orthogonaler Tensor , entspricht einer Drehspiegelung.

Spatprodukt:

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

Gegeben ein Einheitsvektor und Drehwinkel α. Dann sind die folgenden Tensoren R zueinander gleich, orthogonal und drehen um die Achse mit Winkel α:

Rodrigues-Formel:

mit .

Euler-Rodrigues-Formel: also :

Formulierung mit Drehvektor:

DrehvektorOrthogonaler Tensor
 → 
 → 
 → 
 → 
 → 
 → 
 → 

Darin ist

Beispiel für Drehspiegelung:

Drehung von Vektorraumbasis mit Drehachse :

mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante .

Gegeben Orthonormalbasis , Drehwinkel und ist Drehachse:

: Drehung, : Drehspiegelung um

Wenn ein Rechtssystem (Mathematik) bilden, dann dreht Q gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

#Eigensystem:

Drehwinkel:

Drehachse ist #Vektorinvariante:

Positiv definite Tensoren

Definition

Kofaktor:

Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:

Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle #Eigenwerte von A sind größer als null.

Immer positiv definit falls det(A) ≠ 0:

A·A und A·A

Symmetrische Tensoren

Definition

Kofaktor:

#Betrag:

Bei Symmetrischen Tensoren verschwinden ihr #Dualer axialer Vektor und ihre #Vektorinvariante:

Bilinearform:

Alle #Eigenwerte λ1,2,3 sind reell. Alle #Eigenvektoren sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. Hauptachsentransformation:

Bezüglich der Standardbasis:

#Invarianten:

Symmetrische und positiv definite Tensoren

Definition

Kofaktor:

Mit den #Eigenwerten , den #Eigenvektoren und einer reellwertigen Funktion eines reellen Argumentes definiert man über das #Eigensystem symmetrischer Tensoren

den Funktionswert des Tensors:

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel (Mathematik), mit n alternativen Werten, dann steht f(A) mehrdeutig für n3 alternative Tensoren.

Insbesondere mit dem Deformationsgradient F:

Rechter Strecktensor

Linker Strecktensor

Henky-Dehnung

Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe

Die Tensoren

bilden eine Basis im Vektorraum der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in Voigt'scher Notation dargestellt werden:

Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss

berücksichtigt werden. Siehe auch #Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe.

Schiefsymmetrische Tensoren

Definition

Kofaktor:

#Invarianten:

In kartesischen Koordinaten:

#Invarianten:

Bilinearform:

Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

#Dualer axialer Vektor:

mit #Vektorinvariante . Der zum Eigenwert null gehörende #Eigenvektor ist proportional zum dualen axialen Vektor denn

Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix

Kreuzproduktmatrix eines Vektors :

Kofaktor:

#Invarianten:

#Eigensystem:

Eigenschaften:

Potenzen von

Deviatorische Tensoren

Definition

Kofaktor:

#Hauptinvarianten:

Bezüglich der Standardbasis:

Kugeltensoren

Definition

Kofaktor:

Dekompositionen eines Tensors

Gegeben ein beliebiger Tensor

Symmetrischer Anteil

Schiefsymmetrischer Anteil

Deviator