Spannungsdeviator

Als Spannungsdeviator ${\displaystyle {\underline {\underline {s}}}}$ (lateinisch Abweichler) wird der Teil des Spannungstensors ${\displaystyle {\underline {\underline {\sigma }}}}$ (bzw. seiner Matrixdarstellung) bezeichnet, der vom hydrostatischen Anteil abweicht. Damit ist der Spannungsdeviator selbst wieder ein Tensor, der in Matrixform dargestellt werden kann, und der für die Technische Mechanik (oder allgemeiner gefasst für die Kontinuumsmechanik) eine wesentliche Rolle zur Beschreibung eines lokalen Beanspruchungszustands spielt.

Definition

Die mittlere Normalspannung

${\displaystyle \sigma _{m}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}+\sigma _{z}}{3}}}$

ist ein Drittel der Spur des Spannungstensors (bzw. der ihm entsprechenden Matrix).

Der Spannungsdeviator folgt somit zu:

${\displaystyle {\underline {\underline {s}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\sigma _{m}&0&0\\0&\sigma _{m}&0\\0&0&\sigma _{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}-\sigma _{m}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}-\sigma _{m}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}-\sigma _{m}\end{bmatrix}}\,}$.

Der Spannungsdeviator bildet sich also aus dem Spannungstensor abzüglich der mittleren wirkenden Normalspannung.

Der Druck im Körper ist die negative mittlere Normalspannung, ${\displaystyle p=-\sigma _{m}}$, denn positiver Druck wirkt komprimierend während eine positive mittlere Normalspannung expandierend wirkt.

Verwendung

In der Festigkeitslehre spielt die 2. Invariante des Deviators zur Berechnung der Vergleichsspannung eine entscheidende Rolle, weil man – gerade bei metallischen Werkstoffen – durch Experimente gestützt davon ausgehen kann, dass diese nicht aufgrund eines zu hohen Drucks versagen.

Literatur

• Dietmar Gross, Werner Hauger, Peter Wriggers: Technische Mechanik 4: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. 8. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 3-642-16827-2. 
• Albrecht Bertram: Festkörpermechanik. Überarbeitete deutsche Ausgabe, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-940961-88-4.

Weblinks

• Elastizitätstheorie Höhere Festigkeitslehre (abgerufen am 11. Oktober 2019)
• Grundlagen der Elastizitätstheorie (abgerufen am 11. Oktober 2019)
• MECHANISCHE ASPEKTE DER DEFORMATION. S. 15 ff. (abgerufen am 11. Oktober 2019)
• Anwendung der FEM in der Geotechnik (abgerufen am 11. Oktober 2019)

Siehe auch

• Spannungstensor
• Kontinuumsmechanik