Knotenkomplement

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist das Knotenkomplement der nach Entfernen eines Knotens aus der 3-Sphäre verbleibende Raum.

Definition

Kleeblattschlinge

Es sei ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ ein Knoten. (Der Fall von Knoten im euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ lässt sich auf den ersten Fall zurückführen, indem man die Einpunktkompaktifizierung ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}=S^{3}}$ betrachtet.) Das Komplement des Knotens ${\displaystyle K}$ ist dann die offene Mannigfaltigkeit ${\displaystyle S^{3}\setminus K}$.

Häufig betrachtet man statt der offenen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle S^{3}\setminus K}$ auch die wie folgt konstruierte Mannigfaltigkeit mit Rand. Sei ${\displaystyle N(K)}$ eine Tubenumgebung von ${\displaystyle K}$, also homöomorph zum Volltorus. Dann ist

${\displaystyle X_{K}=S^{3}\setminus int(N(K))}$

eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, deren Rand ein Torus ist.

Analog kann man das Komplement von Verschlingungen definieren.

Invarianten

Die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements ist die Knotengruppe, sie kann mit dem Wirtinger-Algorithmus präsentiert werden. Für Primknoten wird das Knotenkomplement durch die Knotengruppe eindeutig bestimmt.^[1]

Die Homologiegruppen des Knotenkomplements hängen nicht vom Knoten ab, es gilt

${\displaystyle H_{0}(X_{K})=\mathbb {Z} ,\;H_{1}(X_{K})=\mathbb {Z} ,\;H_{2}(X_{K})=0,\;H_{3}(X_{K})=0}$.

(Weil ${\displaystyle X_{K}}$ und ${\displaystyle S^{3}\setminus K}$ homotopieäquivalent sind, hängen diese Invarianten nicht davon ab, welche der beiden obigen Definitionen verwendet wird.)

Satz von Gordon-Luecke

Ein von Gordon und Luecke bewiesener Satz besagt, dass Knoten durch ihr Komplement eindeutig bestimmt sind: Wenn ${\displaystyle S^{3}\setminus K_{1}}$ homöomorph zu ${\displaystyle S^{3}\setminus K_{2}}$ ist, dann sind die Knoten ${\displaystyle K_{1}}$ und ${\displaystyle K_{2}}$ isotop.^[2] Die entsprechende Aussage für Verschlingungen trifft nicht zu.

Literatur

• Heinrich Tietze: Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 1–118.
• Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3-86025-338-7.
• C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 20 (1989), no. 1, 83–87.

Einzelnachweise

1. ↑ Wilbur Whitten: Knot complements and groups. Topology 26 (1987), no. 1, 41–44.
2. ↑ C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 371–415.