3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre oder kurz 3-Sphäre ist ein Objekt in der Mathematik, nämlich eine Sphäre der dritten Dimension. Sie ist neben dem euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ das einfachste Beispiel einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit und kann in den euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ eingebettet werden.

Als Einheitssphäre trägt sie den Namen ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$.

Definition

Unter einer 3-dimensionalen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ist. Letztere wird mit ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ bezeichnet.

Die Einheitssphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ist die Menge der Punkte im 4-dimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ mit Abstand eins vom Ursprung, also

${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}:=\{x\in \mathbb {R} ^{4}\colon \|x\|_{2}=1\}}$,

wobei ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ die euklidische Norm ist. Sie kann als Rand der 4-Einheitskugel ${\displaystyle \operatorname {B} ^{4}}$ aufgefasst werden und wird daher auch mit ${\displaystyle \partial \operatorname {B} ^{4}}$ bezeichnet.

Eigenschaften

Geometrische Eigenschaften

Die 3-dimensionale Hyperfläche (das 3-Volumen) einer 3-Sphäre vom Radius ${\displaystyle r}$ ist

${\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}\,}$

und das 4-dimensionale Hypervolumen einer 4-Kugel (das 4-Volumen des 4-dimensionalen Gebietes innerhalb dieser 3-Sphäre) ist

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}r^{4}.}$

Entsprechend ist ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}$ das 4-Volumen von ${\displaystyle \operatorname {B} ^{4}}$.

Jeder nicht-leere Durchschnitt einer 3-Sphäre mit einer 3-dimensionalen Hyperebene ist eine 2-Sphäre oder ein einzelner Punkt.

Die 3-Sphäre vom Radius ${\displaystyle r}$ hat die konstante, positive Schnittkrümmung ${\displaystyle {\tfrac {1}{r^{2}}}}$.

Topologische Eigenschaften

Die 3-Sphäre hat keinen Rand, ist kompakt und einfach zusammenhängend. Ihre Homologiegruppen sind

Jeder topologische Raum mit diesen Homologiegruppen wird 3-Homologiesphäre genannt.

Sie ist homöomorph zur Einpunkt-Kompaktifizierung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ und ist der homogene Raum

${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SO} (4)/\operatorname {SO} (3)}$.

Differenzierbare Struktur

Wie jede 3-dimensionale Mannigfaltigkeit hat die 3-Sphäre nach dem Satz von Moise eine eindeutige Differentialstruktur und eine eindeutige PL-Struktur.

Runde Metrik

Die Einbettung als Einheitssphäre im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ gibt der Sphäre die „runde Metrik“ mit Schnittkrümmung konstant 1. Insbesondere wird sie mit dieser Metrik ein symmetrischer Raum mit Isometriegruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (4)}$.

Jede Metrik konstanter Schnittkrümmung ist ein Vielfaches der runden Metrik.

Die 3-Sphäre als Lie-Gruppe

Die 3-Sphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ist eine nichtabelsche Gruppe. Sie fällt zusammen mit der Gruppe der Einheitsquaternionen

${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {H} \,\mid \,x{\bar {x}}=1\right\}}$

mit ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} }$ und ${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\mathrm {i} -x_{2}\mathrm {j} -x_{3}\mathrm {k} }$. Die Abbildung

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} \mapsto {\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle z_{1}:=x_{0}+\mathrm {i} _{\mathbb {C} }x_{1}}$ und ${\displaystyle z_{2}:=x_{2}+\mathrm {i} _{\mathbb {C} }x_{3}}$

ist ein Isomorphismus der Quaternionen ${\displaystyle \mathbb {H} }$ in den Ring ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$ der komplexen 2×2-Matrizen, der ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ auf die Untergruppe der unitären Matrizen

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{2\times 2}{\Bigg |}\;|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}=:\operatorname {SU} (2)}$,

abbildet. Sie machen eine Lie-Gruppe aus, die den Namen ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ trägt.

Diese Bijektion ist gleichzeitig ein Diffeomorphismus

${\displaystyle \quad \mathbb {H} ^{\times }\supset \mathbb {S} ^{3}\to \operatorname {SU} (2)\subset \left(\mathbb {C} ^{2\times 2}\right)^{\times }\quad ;\quad (z_{1},z_{2})\mapsto {\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}}$

Die 3-Sphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=\operatorname {SU} (2)}$ ist die einfachste nichtabelsche kompakte Lie-Gruppe und insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik von Bedeutung.

Poincaré-Vermutung

Die 3-Sphäre ist die einzige einfach zusammenhängende, kompakte 3-Mannigfaltigkeit.

Vektorfelder auf der 3-Sphäre

Als Lie-Gruppe ist die 3-Sphäre parallelisierbar. Ein Beispiel dreier linear unabhängiger Vektorfelder auf der Einheitssphäre im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ist

${\displaystyle V_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(-x_{2},x_{1},-x_{4},x_{3}),V_{2}(x)=(-x_{3},x_{4},x_{1},-x_{2}),V_{3}(x)=(-x_{4},-x_{3},x_{2},x_{1})}$.

Heegaard-Zerlegungen

Man erhält die 3-dimensionale Sphäre, indem man die Ränder zweier 3-dimensionaler Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.

Allgemeiner hat die 3-Sphäre zu jedem ${\displaystyle g\geq 0}$ eine eindeutige Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht ${\displaystyle g}$.

Dehn-Chirurgien

Jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit kann durch Chirurgien an Verschlingungen ${\displaystyle K\subset \mathbb {S} ^{3}}$ in der 3-Sphäre konstruiert werden.

Sphärische 3-Mannigfaltigkeiten

Aus dem von Thurston initiierten und von Perelman bewiesenen Geometrisierungsprogramm folgt, dass alle kompakten 3-Mannigfaltigkeiten endlicher Fundamentalgruppe sphärische 3-Mannigfaltigkeiten (oder 3-dimensionale sphärische Raumformen) sind, sich also als Quotientenraum

${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {S} ^{3}}$

für eine endliche Gruppe ${\displaystyle \Gamma \subset SO(4)}$ von Isometrien der runden Metrik darstellen lassen.

Beispiele 3-dimensionaler sphärischer Raumformen sind die Linsenräume oder die Poincaré-Homologiesphäre.

Literatur

• Nikolai Saveliev: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. De Gruyter Textbook. Walter de Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016271-7