Knotengruppe

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man einen in den euklidischen Raum eingebetteten Kreis als Knoten. Die entsprechende Knotengruppe ist dann die Fundamentalgruppe des Komplements des Knotens

Andere Konvention

In der Topologie betrachtet man statt des euklidischen Raumes häufig dessen Einpunktkompaktifizierung und entsprechend Knoten als eingebettete Kreise in der .

Es lässt sich zeigen, dass die so entstehende Knotengruppe

isomorph zu ist.

Eigenschaften

Äquivalente Knoten haben isomorphe Knotengruppen, die Knotengruppen ist also eine Knoteninvariante und kann dazu dienen, Knoten zu unterscheiden.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht, so gibt es nicht-äquivalente Knoten mit isomorphen Knotengruppen. Außerdem ist es ein algorithmisch schwieriges Problem, die Nicht-Isomorphie von Knotengruppen zu beweisen.

Die Abelisierung der Knotengruppe ist immer isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen . Das folgt aus dem Alexanderschen Dualitätssatz.

Die Knotengruppe kann mit dem Wirtinger-Algorithmus recht einfach berechnet werden. (D.h. der Wirtinger-Algorithmus liefert eine endliche Präsentation der Knotengruppe.) Es gibt aber keinen allgemeinen Algorithmus, der zu zwei endlichen Gruppenpräsentationen entscheidet, ob die Gruppen isomorph sind.

Alle Erzeuger in der Wirtinger-Präsentierung sind Meridiane des Knotens und insbesondere sind alle diese Erzeuger konjugiert zueinander. Unter der Abelisierungsabbildung werden alle auf denselben Erzeuger der ganzen Zahlen abgebildet.

Beispiele

  • Die Knotengruppe des trivialen Knotens ist .
  • Die Knotengruppe des Kleeblattknotens ist die Zopfgruppe mit Präsentation
oder .
.
  • Die Knotengruppe des Achterknotens ist
.

Literatur

  • Burde, Gerhard; Zieschang, Heiner. Knots. Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 5. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. xii+559 pp. ISBN 3-11-017005-1

Weblinks

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Knot and Link Groups", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104