Auswahlsatz von Blaschke

Der Auswahlsatz von Blaschke (engl. Blaschke Selection Theorem) ist ein mathematischer Satz, welcher ein Konvergenzproblem der Konvexgeometrie behandelt. Der Satz ist dem Übergangsfeld zwischen Konvexgeometrie und Topologie zuzurechnen. Er wurde von dem Geometer Wilhelm Blaschke in dessen Schrift Kreis und Kugel im Jahre 1916 vorgestellt.

Formulierung des Auswahlsatzes

Der Auswahlsatz von Blaschke lässt sich in moderner Fassung wie folgt formulieren:^{[1][2][3][4][5]}

Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle (C_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von nichtleeren kompakten konvexen Teilmengen eines endlich-dimensionalen normierten Vektorraums ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ über ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$. Sind diese Teilmengen gleichmäßig beschränkt in dem Sinne, dass sie alle von einer kompakten Teilmenge von ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ umfasst werden, so lässt sich eine Teilfolge ${\displaystyle (C_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ auswählen, welche in der Hausdorff-Metrik gegen eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ konvergiert.

Andere Formulierung des Auswahlsatzes

Bezeichnet man mit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ das Mengensystem der nichtleeren kompakten konvexen Teilmengen des normierten Vektorraums ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ und mit ${\displaystyle h}$ die Hausdorff-Metrik auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, so besagt der Auswahlsatz:^[6][7]

${\displaystyle {\mathcal {(}}{\mathcal {C}},h)}$ ist ein lokalkompakter metrischer Raum.

Anwendungen

Der Auswahlsatz findet häufig dort Anwendung, wo Existenzbeweise zu Extremalproblemen der Konvexgeometrie zu führen sind.^[8] Wie schon Wilhelm Blaschke in Kreis und Kugel zeigt,^[9] kann mit Hilfe des Auswahlsatzes beispielsweise die isoperimetrische Ungleichung abgeleitet werden.

Verwandte Resultate

Der Auswahlsatz von Blaschke ergibt sich als Folgerung aus dem Satz von Arzelà-Ascoli und erweist sich in einer verallgemeinerten Fassung zu jenem (in der klassischen Form) sogar als äquivalent.^[10]

Literatur

• Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel. Chelsea Publishing Company, New York 1949 (Nachdruck der Ausgabe Leipzig, 1916). 

• Tommy Bonnesen, Werner Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06234-3. 

• Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-71132-2. 

• Hugo Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1957, ISBN 3-540-02151-5. 

• Steven R. Lay: Convex sets and their applications. John Wiley & Sons, New York u. a. 1982, ISBN 0-471-09584-2. 

• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1977, ISBN 3-7643-0839-7. 

• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (= BI-Hochschultaschenbücher 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968, DNB 458498998. 

Einzelnachweise

1. ↑ W. Blaschke: Kreis und Kugel. 1949, S. 62. 
2. ↑ P. M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. 2007, S. 85. 
3. ↑ S. R. Lay: Convex sets and their applications. 1982, S. 98. 
4. ↑ J. T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 226. 
5. ↑ F. A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 47. 
6. ↑ H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. 1957, S. 154. 
7. ↑ J. T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 220. 
8. ↑ S. R. Lay: Convex sets and their applications. 1982, S. 101. 
9. ↑ W. Blaschke: Kreis und Kugel. 1949, S. 79 ff. 
10. ↑ P. M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. 2007, S. 84–88.