Hausdorff-Metrik

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Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand ${\displaystyle \delta (A,B)}$ zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ eines metrischen Raums ${\displaystyle E}$.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand ${\displaystyle D}$ zwischen einem Punkt ${\displaystyle x}$ und einer nichtleeren kompakten Teilmenge ${\displaystyle K\subseteq E}$ unter Rückgriff auf die Metrik ${\displaystyle d}$ des Raums ${\displaystyle E}$ als

${\displaystyle D(x,K):=\min\{d(x,k)\mid k\in K\}.}$

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ als

${\displaystyle \delta (A,B):=\max\{\max\{D(a,B)\mid a\in A\},\max\{D(b,A)\mid b\in B\}\}.}$

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \delta }$ in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von ${\displaystyle E}$ ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

${\displaystyle \delta (A,B)=\inf\{\epsilon \geq 0\,|\ A\subseteq B_{\epsilon }{\text{ und }}B\subseteq A_{\epsilon }\}}$,^[1]

wobei

${\displaystyle A_{\epsilon }:=\bigcup _{a\in A}\{z\in E\,|\ d(z,a)\leq \epsilon \}}$,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens ${\displaystyle \epsilon }$ zur Menge ${\displaystyle A}$.

Anwendungen

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch

• Hausdorff-Konvergenz
• Auswahlsatz von Blaschke
• Gromov-Hausdorff-Metrik

Literatur

• M. I. Voitsekhovskii: Hausdorff metric. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online). 

Einzelnachweise

1. ↑ James Munkres: Topology. Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2, S. 280–281 (google.com).