Arithmetische Reihe

Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Glieder (den Partialsummen) einer arithmetischen Folge sind. Arithmetische Reihen sind im Allgemeinen divergent. Es interessieren deshalb vor allem die Partialsummen, die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.

In einer arithmetischen Folge ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ lässt sich das ${\displaystyle \ i}$-te Folgenglied ${\displaystyle \ a_{i}}$ als

${\displaystyle a_{i}=a_{1}+(i-1)d}$

schreiben, wobei ${\displaystyle d=a_{i+1}-a_{i}}$ die (konstante) Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ist.

Die ${\displaystyle n}$-te Partialsumme ${\displaystyle s_{n}}$ einer arithmetischen Reihe ergibt sich zu

${\displaystyle {s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$.

Allgemeine Summenformel

Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen (beziehungsweise der endlichen arithmetischen Reihe):

${\displaystyle {s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(a_{1}+(i-1)d)=na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}\,d={\frac {n}{2}}(2a_{1}+(n-1)d)=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}}}$.

In der letzten Form lässt sich die Formel besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.

Der Beweis dieser Gleichung wird häufig als erstes Anwendungsbeispiel für die Methode der vollständigen Induktion verwendet.

Spezielle Summen

Für die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ natürlichen Zahlen gilt die Gaußsche Summenformel

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

und für die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ ungeraden natürlichen Zahlen

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+\dotsb +(2n-1)=n\cdot {\frac {1+2n-1}{2}}=n^{2}}$

mit ${\displaystyle a_{1}=1}$, ${\displaystyle d=2}$.

Siehe auch

• Geometrische Reihe
• Differenzenfolge
• Binomische Reihe

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Arithmetic Series. In: MathWorld (englisch).