Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Bei einer geometrischen Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ ist der Quotient ${\displaystyle q}$ zweier benachbarter Folgenglieder konstant:

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}q}$

Das bedeutet, dass die Folgenglieder bezüglich des Summenindex einen Exponentiellen Verlauf annehmen.

Die Folgenglieder der zugehörigen geometrischen Reihe ergeben sich aus den Summenabschnitten:

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}}$

${\displaystyle =a_{1}(1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1})}$

Also verhält sich der vom Summenindex abhängige Exponent in den Folgegliedern bezüglich des Summenindex linear.

Grundlegende Form

Divergenter Fall

Ein Quotient ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle |q|\geq 1}$ ergibt eine divergente geometrische Reihe, z. B. für ${\displaystyle q=2}$ und Startwert ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1,1+2,1+2+4,1+2+4+8,\dots }$ zusammengefasst also ${\displaystyle 1,3,7,15,\dots }$

Im Falle der hier abgebildeten Zweierpotenzen erscheinen stets die Mersenneschen Zahlen als Werte der Summe.

Und der Grenzwert der Mersenneschen Zahlen gegen den Index Unendlich nimmt die Zahl Plus Unendlich an.

Konvergenter Fall

Für ${\displaystyle |q|<1}$ konvergiert die geometrische Reihe hingegen; es gilt in diesem Fall

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=1+q+q^{2}+\dots ={\frac {1}{1-q}}}$

Denn an der Summenkette ist folgendes Kriterium direkt erkennbar:

Wenn vom Wert der unendlichen Summe die Zahl eins abgezogen wird, dann entsteht das q-Fache von diesem Wert:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}{\biggr )}-1=q\,{\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}{\biggr )}}$

Daraus folgt sofort, dass dieser Wert gleich dem Kehrwert von der Differenz 1 - q sein muss.

Bei identischem Startwert 1 und einem Quotienten von ¹⁄₂ ergibt sich zum Beispiel: 1, 1 + ¹⁄₂, 1 + ¹⁄₂ + ¹⁄₄, 1 + ¹⁄₂ + ¹⁄₄ + ¹⁄₈, …, also 1, ³⁄₂, ⁷⁄₄, ¹⁵⁄₈, … mit dem Grenzwert ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-1/2}}=2}$.

Für die Reihen gilt die Festlegung ${\displaystyle 0^{0}:=1}$, die im Zusammenhang mit Potenzreihen üblich ist und welche auf der Kenntnis des folgenden Grenzwertes hervorkommt:

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}a^{a}=1}$

Auf der Regel von de L’Hospital basiert dieser Grenzwert.

Berechnung der (endlichen) Partialsummen einer geometrischen Reihe

Eine Reihe ist per Definition eine Folge von Partialsummen. Der Wert der Reihe ist der Grenzwert dieser Folge von Partialsummen. Eine endliche Summe ist somit ein Folgenglied aus der Folge der Partialsummen. Die (endliche) Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Glieder einer Reihe bezeichnet man also als ${\displaystyle n}$-te Partialsumme und nicht etwa als „Partialreihe“ o. ä.

Gegeben sei eine geometrische Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$.

${\displaystyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

ist der Grenzwert der zugehörigen geometrischen Reihe.

Wir können daraus eine neue Folge

${\displaystyle (s_{n})=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)=\left(\sum _{k=0}^{0}a_{k},\sum _{k=0}^{1}a_{k},\sum _{k=0}^{2}a_{k},\sum _{k=0}^{3}a_{k},\dotsc \right)=\left(a_{0},a_{0}+a_{1},a_{0}+a_{1}+a_{2},a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3},\dotsc \right)}$

konstruieren, deren ${\displaystyle n}$-tes Glied jeweils die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Glieder der Reihe ${\displaystyle s}$ ist, die sogenannte ${\displaystyle n}$-te Partialsumme von ${\displaystyle s}$. Diese Folge heißt die Folge der Partialsummen zu ${\displaystyle s}$. (Genau genommen wird in umgekehrter Reihenfolge die Reihe auf Grundlage von Partialsummen einer Folge definiert. Die obige und übliche Schreibweise für die Reihe gibt das aber nicht her, deshalb müssen wir aus ihr erst die Folge der Partialsummen rekonstruieren.) Falls sie konvergiert, wird über sie der Wert der Reihe ${\displaystyle s}$ definiert. Es gilt für den Wert der Reihe ${\displaystyle s}$ (hier wird nicht mehr von „Grenzwert“ gesprochen):

${\displaystyle s:=\lim _{n\to \infty }s_{n};}$

in Worten: Der Wert der Reihe ${\displaystyle s}$ ist definiert als der Grenzwert der zu ihr gehörigen Partialsummen-Folge, falls diese konvergiert, andernfalls wird die Reihe als divergent bezeichnet. Falls in diesem Falle die Folge der Partialsummen gegen (plus / minus) Unendlich strebt, schreibt man gewöhnlich ${\displaystyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\infty }$ oder ${\displaystyle {-}\infty }$ und sagt, die Folge konvergiere gegen den uneigentlichen Grenzwert (plus / minus) Unendlich oder die Reihe habe den uneigentlichen Wert (plus / minus) Unendlich. (Eine Berechnungsformel für den Grenzwert folgt weiter unten.)

Mit ${\displaystyle q}$ bezeichnen wir nun das Verhältnis ${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$ zweier benachbarter Glieder, das für alle ${\displaystyle k}$ gleich ist.

Dann gilt ${\displaystyle a_{k}=a_{0}q^{k}}$ für alle ${\displaystyle k}$.

Für die ${\displaystyle n}$-te Partialsumme ${\displaystyle s_{n}}$ ergibt sich damit:

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}}$

Wenn ${\displaystyle q\neq 1}$, dann gilt (Herleitung siehe unten)

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{\frac {q^{n+1}-1}{q-1}}=a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$

Falls ${\displaystyle q=1}$, so gilt

${\displaystyle s_{n}=a_{0}(n+1)}$

Das Obige gilt, wenn die Folgenglieder Elemente eines unitären Ringes sind, also insbesondere, wenn es reelle Zahlen sind.

Verwandte Summenformeln

Endliche Summenformeln

• Die Partialsumme

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}k}$

hat für ${\displaystyle q\neq 1}$ das Ergebnis

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{\frac {nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^{2}}}}$

und für ${\displaystyle q=1}$ (vgl. Gaußsche Summenformel)

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}1^{k}k=a_{0}\sum _{k=0}^{n}1k=a_{0}\sum _{k=0}^{n}k=a_{0}{\frac {n(n+1)}{2}}}$; Die so entstehenden Werte ${\displaystyle s_{n}\div a_{0}}$ werden Dreieckszahlen genannt.

Diese Formel ergibt sich auch aus der Formel für ${\displaystyle q\neq 1}$ (mit zweifacher Anwendung der Regel von de L’Hospital) als deren Grenzwert für ${\displaystyle q\to 1}$.

• Die Partialsumme

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}k^{2}}$

hat für ${\displaystyle q\neq 1}$ das Ergebnis

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{\frac {n^{2}q^{n+3}-(2n^{2}+2n-1)q^{n+2}+(n+1)^{2}q^{n+1}-q^{2}-q}{(q-1)^{3}}}}$

und für ${\displaystyle q=1}$ (vgl. Potenzsummen)

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Die auf die nun genannte Weise entstehenden Werte ${\displaystyle s_{n}\div a_{0}}$ werden Quadratische Pyramidalzahlen genannt.

Die Dreieckszahlen und die Quadratischen Pyramidalzahlen bilden die ersten Spezialfälle zu den Faulhabersche Formeln, welche von Donald Knuth und Johannes Faulhaber erforscht wurden.

Beispiele

Zahlenbeispiel

Gegeben sei die geometrische Folge

${\displaystyle a_{0}=5,\ a_{1}=15,\ a_{2}=45,\ a_{3}=135,\ \dotsc }$

mit ${\displaystyle a_{0}=5}$ und ${\displaystyle q=3.}$ Die zugehörige geometrische Reihe ist

${\displaystyle s=5\sum _{k=0}^{\infty }3^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }5\cdot 3^{k}=5+15+45+135+\dotsb =\infty }$

Die zugehörige Folge von Partialsummen ergibt sich zu

${\displaystyle s_{0}=5=5{\frac {1-3^{1}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{1}=5+15=20=5{\frac {1-3^{2}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{2}=5+15+45=65=5{\frac {1-3^{3}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{3}=5+15+45+135=200=5{\frac {1-3^{4}}{1-3}}}$

usw.

Geometrische Veranschaulichungen

Zur Summenformel

Das große gleichseitige Dreieck ${\displaystyle ABC}$, dessen Flächeninhalt ohne Beschränkung der Allgemeinheit als ${\displaystyle 1}$ angenommen wird, setzt sich aus drei flächengleichen unendlichen Folgen gleichseitiger Dreiecke (rot, gelb, blau) zusammen, deren Grenzwerte jeweils ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$mal so groß sind wie das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ (Figur 1). Wegen der Selbstähnlichkeit der Dreiecke ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle A_{1}B_{1}C}$, ${\displaystyle A_{2}B_{2}C}$, … und ihrer Mittendreieck-Eigenschaften besitzt jede der drei Dreiecksfolgen den Grenzwert

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}}$.

Also gilt

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}={\frac {1}{3}}}$.^[1][2]

Zu einer verwandten Summenformel

In Figur 2 gilt:

${\displaystyle 1+2\cdot {\frac {1}{2}}+3\cdot {\frac {1}{4}}+4\cdot {\frac {1}{8}}+5\cdot {\frac {1}{16}}+\ldots =4}$.

Dies bestätigt die Partialsummenformel

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}k}$

für ${\displaystyle a_{0}=2}$, ${\displaystyle q={\frac {1}{2}}}$ und ${\displaystyle n=5}$.^[3][4]

Rentenrechnung

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5 % [d. h. der Zinsfaktor ist: ${\displaystyle 1+(5/100)=1{,}05}$]. Wie viel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins 2000 · 1,05⁵ €. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann durch die Rentenrechnung ein angesparter Betrag von

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\,000\cdot 1{,}05^{5}+2\,000\cdot 1{,}05^{4}+2\,000\cdot 1{,}05^{3}+2\,000\cdot 1{,}05^{2}+2\,000\cdot 1{,}05^{1}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot (1{,}05^{4}+1{,}05^{3}+1{,}05^{2}+1{,}05^{1}+1{,}05^{0})\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot \sum _{k=0}^{4}1{,}05^{k}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot {\frac {1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot {\frac {1{,}05^{5}-1}{0{,}05}}\\&\quad =11\,603{,}826\end{aligned}}}$

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit um 1603,83 € erhöht. Beim Nachrechnen von Kontoauszügen ist zu bedenken, dass im Bankenwesen nicht mathematisch gerundet wird.

Zum Vergleich: Würden nicht Jahr für Jahr je 2000 € eingezahlt, sondern gleich von Beginn an die ganzen 10000 € über 5 Jahre bei 5 % Zinsen angelegt, so wäre der Endbetrag

${\displaystyle 10\,000\cdot 1{,}05^{5}=12\,762{,}8156}$

also ein Kapitalertrag von 2762,82 €.

Allgemein gilt: Beträgt die Einlage am Anfang jedes Jahres ${\displaystyle a_{0}}$, der Zinsfaktor ${\displaystyle q}$ und die Laufzeit ${\displaystyle n}$ Jahre, dann ist der Endwert

${\displaystyle a_{0}\sum _{k=1}^{n}q^{k}=a_{0}q{\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$.

Rentenrechnung mit linearer Dynamik

Zahlt man im Gegensatz zum vorigen Beispiel nicht jährlich einen festen Beitrag ${\displaystyle a_{0}}$, sondern ab dem 2. Jahr jedes Jahr ${\displaystyle d}$ mehr als im Vorjahr (lineare Dynamik) ein, so ist der Endwert

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{n}q^{k}(a_{0}+d(n-k))=\sum _{k=1}^{n}(q^{k}(a_{0}+dn)-q^{k}dk)\\&\qquad =\left(\sum _{k=1}^{n}q^{k}(a_{0}+dn)\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}q^{k}dk\right)\\&\qquad =(a_{0}+dn)\left(\sum _{k=1}^{n}q^{k}\right)-d\left(\sum _{k=1}^{n}q^{k}k\right)\\&\qquad =(a_{0}+dn){\frac {q^{n+1}-q}{q-1}}-d{\frac {nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^{2}}}\end{aligned}}}$

zum Beispiel mit ${\displaystyle a_{0}=2.000}$ € im ersten Jahr, jedes Jahr ${\displaystyle d=100}$ € mehr als im Vorjahr, 5 % Zinsen (also Zinsfaktor ${\displaystyle q=1{,}05}$) und ${\displaystyle n=5}$ Jahren Laufzeit, dann ist der am Ende des 5. Jahres angesparte Betrag

${\displaystyle {\begin{aligned}&(2\,000+100\cdot 5)\cdot {\frac {1{,}05^{5+1}-1{,}05}{1{,}05-1}}-100\cdot {\frac {5\cdot 1{,}05^{5+2}-(5+1)\cdot 1{,}05^{5+1}+1{,}05}{(1{,}05-1)^{2}}}\\&\qquad =2\,500\cdot {\frac {0{,}29}{0{,}05}}-100\cdot {\frac {7{,}03-8{,}04+1{,}05}{0{,}0025}}\\&\qquad =2\,500\cdot 5{,}8-100\cdot {\frac {0{,}0449}{0{,}0025}}\\&\qquad =14\,504{,}78-100\cdot 17{,}97\\&\qquad =12\,707{,}65\end{aligned}}}$

wobei in diesem Beispiel nicht 10.000 €, sondern insgesamt 11.000 € eingezahlt wurden, also beträgt der Gewinn 1.707,65 €. Zahlt man statt ${\displaystyle a_{0}=2.000}$ € im ersten Jahr nur ${\displaystyle a_{0}=1.800}$ € ein und lässt die anderen Faktoren gleich (sodass man wie im vorletzten Beispiel insgesamt 10.000 € einzahlt), dann ist der Endwert nur noch 11.547,27 €, das heißt zahlt man den gleichen Betrag ein, nur zu Beginn weniger, dafür später mehr, dann entgehen einem Gewinne (Opportunitätskosten).

Periodische Dezimalbrüche

Periodische Dezimalbruchentwicklungen enthalten eine geometrische Reihe, welche mit den obigen Formeln wieder in einen Bruch umgewandelt werden kann.

Beispiel 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}0{,}2{\overline {67}}&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{100}}\right)^{k}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{100}}}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {100}{99}}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{990}}={\frac {265}{990}}={\frac {53}{198}}\end{aligned}}}$

Beispiel 2:

${\displaystyle 0{,}{\overline {9}}={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\dotsb ={\frac {9}{10}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {10}{9}}=1}$

Achilles und die Schildkröte

Ein sehr anschauliches Beispiel für die Anwendung (und sogar Herleitung des Grenzwerts) der geometrischen Reihe ist Geschichte von Achilles und der Schildkröte.

Der für seine Schnelligkeit bekannte Athlet Achilles tritt in einem Wettlauf gegen eine langsame Schildkröte an. Beide starten zum selben Zeitpunkt, aber die Schildkröte erhält anfangs einen Vorsprung von, zum Beispiel ${\displaystyle 100\,{\text{m}}}$. Obwohl Achilles mit einer um den Faktor ${\displaystyle p}$, mit ${\displaystyle p>1}$, höheren Geschwindigkeit als die der Schildkröte läuft, kann er sie scheinbar niemals einholen. Denn: Sobald Achilles ${\displaystyle 100\,{\text{m}}}$ weit gelaufen ist, also den Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte gestartet ist, ist eine gewisse Zeit verstrichen. In dieser Zeit hat die Schildkröte die Strecke ${\displaystyle 100\,{\text{m}}/p}$ zurückgelegt. Achilles muss also die entsprechende Strecke weiterlaufen, um die Schildkröte einzuholen. Derweil hat die Schildkröte jedoch weitere ${\displaystyle 100\,{\text{m}}/p^{2}}$ zurückgelegt. Achilles hat die Schildkröte immer noch nicht eingeholt. Er läuft entsprechend weiter, muss nun allerdings feststellen, dass die Schildkröte in der Zwischenzeit abermals eine gewisse Strecke zusätzlich zurückgelegt hat; dieses Mal sind es ${\displaystyle 100\,{\text{m}}/p^{3}}$. Dieses Spiel setzt sich unendlich oft fort.

Der Punkt ${\displaystyle x}$, an welchem Achilles die Schildkröte endlich einholen wird, ist gegeben durch die unendliche Summe

${\displaystyle x=100\,{\text{m}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p^{2}}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p^{3}}}+\dots =100\,{\text{m}}\sum _{k=0}^{\infty }p^{-k}.}$

Alternativ können wir ${\displaystyle x}$ durch das Aufstellen zweier linearer Gleichungen bestimmen. Es seien

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\text{S}}(t)&=v\,t+100\,{\text{m}}\quad {\text{bzw.}}\\x_{\text{A}}(t)&=p\,v\,t\end{aligned}}}$

die Bewegungsgleichungen der Schildkröte bzw. von Achilles, wobei ${\displaystyle v}$ die Geschwindigkeit der Schildkröte und ${\displaystyle t}$ die verstrichene Zeit ist. Wir suchen nun die ${\displaystyle x}$-Koordinate des Schnittpunkts von ${\displaystyle x_{\text{S}}(t)}$ und ${\displaystyle x_{\text{A}}(t)}$. Durch Gleichsetzen beider Gleichungen, Umformung auf ${\displaystyle t}$ und Einsetzen von ${\displaystyle t}$ in eine der beiden Gleichungen erhalten wir ${\displaystyle x=100\,{\text{m}}/(1-1/p)}$. Der Wert ist endlich; Achilles wird die Schildkröte also doch einholen. Vergleichen wir diese Lösung mit derjenigen von oben, so finden wir

${\displaystyle {\begin{aligned}100\,{\text{m}}\sum _{k=0}^{\infty }p^{-k}={\frac {100\,{\text{m}}}{1-(1/p)}},\quad {\text{oder äquivalent}}\quad \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}},\end{aligned}}}$

wobei im letzten Schritt auf beiden Seiten durch ${\displaystyle 100\,{\text{m}}}$ geteilt und die Variable ${\displaystyle q:=1/p}$, mit ${\displaystyle 0<q<1}$, eingeführt wurde.

Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe

Eine geometrische Reihe bzw. die Folge ihrer Partialsummen konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl ${\displaystyle q}$ kleiner als Eins oder ihr Anfangsglied ${\displaystyle a_{0}}$ gleich Null ist. Für ${\displaystyle |q|<1}$ oder ${\displaystyle a_{0}=0}$ konvergiert die zugrundeliegende geometrische Folge nämlich gegen Null:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{0}q^{k}=0}$.

Nach dem Nullfolgenkriterium ist dies eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Da für ${\displaystyle |q|>1}$ und ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ die Grundfolge divergiert, liegt in diesem Falle somit auch Divergenz der Reihe vor.

Für ${\displaystyle q=1}$ ergibt sich die Divergenz der geometrischen Reihe aus

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{0}q^{k}=\sum _{k=0}^{N}a_{0}\cdot 1=(N+1)\cdot a_{0}}$,

ein Ausdruck, der für ${\displaystyle N\to \infty }$ und ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ divergiert.

Für den Fall ${\displaystyle q>1}$ ergibt sich die Divergenz immer als bestimmte Divergenz (s. o.), für den Fall ${\displaystyle q\leq -1}$ immer als unbestimmte Divergenz. Die geometrische Reihe konvergiert auch absolut, sofern sie auf normale Weise konvergiert.

Der Wert der Reihe im Konvergenzfall ergibt sich aus jener obenstehenden Formel für die ${\displaystyle n}$-ten Partialsummen durch Grenzwertbildung (${\displaystyle n\to \infty }$) für ${\displaystyle |q|<1}$ zu

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{0}q^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{0}q^{k}=\lim _{n\to \infty }a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {a_{0}}{1-q}},}$

denn es ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1-q^{n+1})=1.}$

Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von ${\displaystyle q}$ kleiner als Eins ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

Herleitungen

Herleitung der Formel für die Partialsummen

Die ${\displaystyle n}$-te Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{0}q^{k}=a_{0}+a_{0}q+a_{0}q^{2}+\dotsb +a_{0}q^{n}}$

Vereinfacht:

${\displaystyle s_{n}=a_{0}(1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n})}$   (Gleichung 1)

Durch Multiplikation mit ${\displaystyle q}$ ergibt sich:

${\displaystyle qs_{n}=a_{0}(q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1})}$   (Gleichung 2)

Wenn man Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert, erhält man:

${\displaystyle s_{n}-qs_{n}=a_{0}(1-q^{n+1})}$

Ausklammern von ${\displaystyle s_{n}}$:

${\displaystyle s_{n}(1-q)=a_{0}(1-q^{n+1})\ }$

Teilen durch ${\displaystyle (1-q)}$ liefert für ${\displaystyle q\neq 1}$ die gesuchte Formel für die Partialsummen:

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{{1-q^{n+1}} \over {1-q}}}$

Herleitung der Varianten

Mithilfe der oben angegebenen Formel lassen sich durch gliedweise Differentiation auch folgende endliche Reihen geschlossen darstellen, für ${\displaystyle q\neq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}kq^{k}&=\sum _{k=0}^{n}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{k=0}^{n}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\&={\frac {nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(1-q)^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}k^{2}q^{k}&=\sum _{k=0}^{n}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{k=0}^{n}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\&={\frac {n^{2}q^{n+3}-(2n^{2}+2n-1)q^{n+2}+(n+1)^{2}q^{n+1}-q^{2}-q}{(q-1)^{3}}}\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle |q|<1}$ konvergieren nach Grenzwertbildung der zugehörigen endlichen Reihe auch die unendlichen Reihen (folglich sind diese sogar gliedweise integrierbar):

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kq^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1}{1-q}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{2}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1}{1-q}}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {q}{(1-q)^{2}}}={\frac {q(1+q)}{(1-q)^{3}}}}$

analog für höhere Potenzen.

Mittels der Euler-Polynome ${\displaystyle A_{s}(q)}$ kann die Reihe auch für beliebige ${\displaystyle s}$ direkt angegeben werden.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{s}q^{n}={\frac {qA_{s}(q)}{(1-q)^{s+1}}}}$

Allgemein stellt diese Variante die Definition des Polylogarithmus dar.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{s}q^{k}={\text{Li}}_{-s}(q)}$

Siehe auch

• Die Konvergenz bzw. Divergenz der geometrischen Reihe ist die Grundlage für das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
• Geometrische Verteilung
• Harmonische Reihe
• Arithmetische Reihe

Literatur

• George E. Andrews: The Geometric Series in Calculus. The American Mathematical Monthly, Band 105, Nr. 1 (Jan., 1998), S. 36–40 (JSTOR:2589524)
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 12. Aufl. 2015, ISBN 978-3-658-11544-9
• Joscelyn A. Jarrett: Regular Polygons and the Geometric Series. The Mathematics Teacher, Band 75, Nr. 3 (März 1982), S. 258–261 (JSTOR:27962874)
• Albrecht Beutelspacher: Mathe-Basics zum Studienbeginn: Survival-Kit Mathematik. Springer, 2016, S. 198–199

Weblinks

Commons: Geometric series – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel – Lern- und Lehrmaterialien

• Geometrische Folgen und Reihen auf mathematische-basteleien.de
• Unendliche geometrische Reihe, Archivlink, abgerufen am 8. März 2022
• Eric W. Weisstein: Geometric Series. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 180
2. ↑ Mathematics Magazine, vol. 72, no. 1 (Feb. 1999), S. 63
3. ↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 186
4. ↑ Mathematics Magazine, vol. 62, no. 5 (Dec. 1989), S. 332–333