Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist eine Potenzreihe, die sich bei einer Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf Potenzen mit reellen oder komplexen Exponenten ergibt:^[1]

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}}$

Ist der Exponent ${\displaystyle \alpha }$ eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit ${\displaystyle k=\alpha }$ ab und ist daher dann nur eine endliche Summe. Die Koeffizienten der binomischen Reihe sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet ist. Für sie gilt

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}=\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +1-j}{j}}}$

mit der fallenden Faktorielle ${\displaystyle \alpha ^{\underline {k}}}$, wobei für ${\displaystyle k=0}$ das leere Produkt den Wert 1 zugewiesen bekommt.

Ein Spezialfall der binomischen Reihe ist die Maclaurinsche Reihe der Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha },\;|x|<1,\,\alpha \in \mathbb {C} }$:^[1]

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\cdot x^{k}}$

Geschichte

Vermutlich wurde die Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ bereits von persischen Mathematiker Omar Chayyām (1048–1131) entdeckt. Einige Mathematiker vermuten, dass sie aufgrund seiner Kenntnis der Berechnung von Binomialkoeffizienten auch dem chinesischen Mathematiker Zhu Shijie (1260–1320) bekannt war.^[2]

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl ${\displaystyle \alpha }$ und alle reellen ${\displaystyle x}$ im Intervall ${\displaystyle \left]-1,1\right[}$ das Binom ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}$ darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe ${\displaystyle \alpha ,x\in \mathbb {C} }$. Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$ gilt.^[2]

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises

Es sei ${\displaystyle |x|=1}$ und ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$.

• Die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}}$ konvergiert genau dann absolut, wenn ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}$ oder ${\displaystyle \alpha =0}$ ist (${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )}$ bezeichnet den Realteil von ${\displaystyle \alpha }$).
• Für alle ${\displaystyle x\neq -1}$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>-1}$ ist.
• Für ${\displaystyle x=-1}$ konvergiert die Reihe genau dann, wenn ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}$ oder ${\displaystyle \alpha =0}$ ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man ${\displaystyle \alpha =-1}$ und ersetzt ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle -x}$, so erhält man

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}(-x)^{k}.}$

Wegen ${\displaystyle {\tbinom {-1}{k}}=(-1)^{k}}$ für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle k}$ lässt sich diese Reihe auch schreiben als ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}}$. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

• ${\displaystyle (1+x)^{2}={\binom {2}{0}}x^{0}+{\binom {2}{1}}x^{1}+{\binom {2}{2}}x^{2}=1+2x+x^{2}}$ (ein Spezialfall der binomischen Formel für das Quadrat einer Summe)
• ${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\dotsb }$
• ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}-{\frac {5x^{4}}{128}}+{\frac {7x^{5}}{256}}-\dotsb }$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=(1-x)^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}+{\frac {3x^{2}}{8}}+{\frac {5x^{3}}{16}}+{\frac {35x^{4}}{128}}+{\frac {63x^{5}}{256}}+\dotsb }$

Quellen

• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Eric W. Weisstein: Binomial Series. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ ^{a b} J. L. Coolidge: The Story of the Binomial Theorem. In: The American Mathematical Monthly, März 1949, Band 56, Nr. 3, S. 147–157 (JSTOR)