Salinon

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Das Salinon (lachsfarben) und der Kreis (blau) sind flächengleich (violett: die gemeinsame Fläche von Salinon und Kreis).

Das Salinon (griechisch vermutlich für „Salzfässchen“^[1]) ist eine aus vier Halbkreisen gebildete, spiegelsymmetrische geometrische Figur. Sie wurde erstmals vermutlich durch Archimedes in seinem Buch der Lemmata beschrieben.

Konstruktion

${\displaystyle O}$ sei der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Auf der ${\displaystyle x}$-Achse liegen außen die beiden Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ (jeweils mit gleichem Abstand zu ${\displaystyle O}$) und innen die Punkte ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E}$ (ebenfalls mit gleichem Abstand zu ${\displaystyle O}$); damit ist ${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {EB}}}$. Man errichte einen Halbkreis über ${\displaystyle AB}$, sowie zwei kleinere, gleich große Halbkreise über ${\displaystyle AD}$ und ${\displaystyle EB}$. Schließlich zeichne man einen vierten Halbkreis unter ${\displaystyle DE}$. Das Salinon ist die durch diese vier Halbkreise begrenzte Figur (lachsfarben in der Zeichnung). Sie schneidet die ${\displaystyle y}$-Achse in den Punkten ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle F}$.

Eigenschaften

Salinon

Arbelos

Archimedes beschrieb die Eigenschaften des Salinon als Satz 14 in seinem Buch der Lemmata unter Bezug auf Euklids Elemente, Buch 2, Proposition 10.

Bezeichnet man den Radius des großen Halbkreises (${\displaystyle {\overline {AB}}/2={\overline {AO}}}$) mit ${\displaystyle R}$ und den des kleinen, mittleren Halbkreises (${\displaystyle {\overline {DE}}/2={\overline {DO}}}$) mit ${\displaystyle r}$, so gilt für die Fläche ${\displaystyle A}$ des Salinon:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi \left(R+r\right)^{2}.}$

Darüber hinaus gilt:

• Die Punkte auf den vier Halbkreisen mit dem jeweils größten Abstand zur ${\displaystyle x}$-Achse (darunter ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle F}$) bilden ein Quadrat.
• Der Umkreis dieses Quadrates hat denselben Flächeninhalt (violett in der Abbildung) wie das Salinon.
• Wenn der Durchmesser des Halbkreises unter ${\displaystyle DE}$ zu Null wird (die Punkte ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E}$ also in ${\displaystyle O}$ zusammenfallen), geht das Salinon in einen zur ${\displaystyle y}$-Achse spiegelsymmetrischen Arbelos über, eine weitere Figur aus Halbkreisen, deren Untersuchung Archimedes zugeschrieben wird.

Siehe auch

• Arbelos

Weblinks

Commons: Salinon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Salinon. In: MathWorld (englisch).
• Alexander Bogomolny: Salinon: From Archimedes’ Book of Lemmas. In: Cut The Knot (englisch)
• Jürgen Köller: Salinon. In: Mathematische Basteleien

Einzelnachweise

1. ↑ Zur Namensherkunft vgl. Archimedes’ Werke. Mit modernen Bezeichnungen hrsg. von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Dr. Fritz Kliem. Berlin: Häring, 1914, S. 21–23, Anm. 3.