Polygon

Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen Flächen

Ein Polygon (von altgriechisch πολυγώνιονpolygṓnion ‚Vieleck‘; aus πολύςpolýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘)[1] oder auch Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet wird.

Ein Polygon ist ein zweidimensionales Polytop.

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden. Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug (Polygonzug) mit ebenso vielen Ecken, beispielsweise ein Dreieck (3 Punkte, 3 Strecken) oder ein Viereck (4 Punkte, 4 Strecken).

Die umschlossene Fläche wird oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.

Definition und Bezeichnungen

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel von verschiedenen Punkten definiert ist.

  • Die Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit Ecken heißt -Eck oder (insbesondere in der englischen Literatur) auch -Gon.
  • Die Strecken und bezeichnet man als Seiten des Polygons.
  • Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man Diagonalen.

Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:

  • Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus.[2]
  • Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch , , und , , gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.

Klassifikation

Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Nach Anzahl der Ecken

Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt.

Regelmäßiges Polygon

Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet. Viele regelmäßige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon).

Liste regelmäßiger Polygone
  EckenBezeichnungGriechischZirkel
und
Lineal
Besonderheit
3DreieckTrigonGrünes Häkchensymbol für jaErste Fermatsche Primzahl 3 = 220+ 1
4ViereckTetragonGrünes Häkchensymbol für jaQuadrat
5FünfeckPentagonGrünes Häkchensymbol für jaZweite Fermatsche Primzahl 5 = 221+ 1
6SechseckHexagonGrünes Häkchensymbol für ja
7SiebeneckHeptagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein Siebeneck nach Archimedes (Näherungskonstruktion)
8AchteckOktogonGrünes Häkchensymbol für jaenglisch octagon
9NeuneckNonagonRotes X oder Kreuzchensymbol für neinseltener Enneagon
10ZehneckDekagonGrünes Häkchensymbol für ja
11ElfeckHendekagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
12ZwölfeckDodekagonGrünes Häkchensymbol für ja
13DreizehneckTridekagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
14VierzehneckTetradekagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
15FünfzehneckPentadekagonGrünes Häkchensymbol für ja
16SechzehneckHexadekagonGrünes Häkchensymbol für ja
17SiebzehneckHeptadekagonGrünes Häkchensymbol für jaDritte Fermatsche Primzahl 17 = 222+ 1
18AchtzehneckOktodekagonRotes X oder Kreuzchensymbol für neinenglisch octadecagon, octakaidecagon
19NeunzehneckNonadekagonRotes X oder Kreuzchensymbol für neinenglisch auch enneadecagon, enneakaidecagon
20ZwanzigeckIkosagonGrünes Häkchensymbol für ja
21EinundzwanzigeckIkosihenagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
22ZweiundzwanzigeckIkosidigonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
23DreiundzwanzigeckIkositrigonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
24VierundzwanzigeckIkositetragonGrünes Häkchensymbol für ja
25FünfundzwanzigeckIkosipentagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
30DreißigeckTriakontagonGrünes Häkchensymbol für ja
32ZweiunddreißigeckTriakontadigonGrünes Häkchensymbol für ja
34VierunddreißigeckTriakontatetragonGrünes Häkchensymbol für ja
40VierzigeckTetrakontagonGrünes Häkchensymbol für ja
48AchtundvierzigeckTetrakontaoktogonGrünes Häkchensymbol für jaenglisch tetracontaoctagon
50FünfzigeckPentakontagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
51EinundfünfzigeckPentakontahenagonGrünes Häkchensymbol für ja
60SechzigeckHexakontagonGrünes Häkchensymbol für ja
64VierundsechzigeckHexakontatetragonGrünes Häkchensymbol für ja
68AchtundsechzigeckHexakontaoktogonGrünes Häkchensymbol für jaenglisch hexacontaoctagon
70SiebzigeckHeptakontagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
80AchtzigeckOktokontagonGrünes Häkchensymbol für jaenglisch octacontagon
85FünfundachtzigeckOktokontapentagonGrünes Häkchensymbol für jaenglisch octacontapentagon
90NeunzigeckEnneakontagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
96SechsundneunzigeckEnneakontahexagonGrünes Häkchensymbol für ja
100HunderteckHektogonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
257257-EckGrünes Häkchensymbol für jaVierte Fermatsche Primzahl 257 = 223+ 1
1 000TausendeckChiliagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
10 000ZehntausendeckMyriagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
65 53765 537-EckGrünes Häkchensymbol für jaFünfte Fermatsche Primzahl 65537 = 224+ 1
100 000HunderttausendeckRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
1 000 000MillioneckMegagonRotes X oder Kreuzchensymbol für nein
4 294 967 2954 294 967 295-EckGrünes Häkchensymbol für jaDas Produkt aus den fünf Fermatschen Primzahlen (3 · 5 · 17 · 257 · 65537 = 4294967295 = 232 - 1) liefert die größte bekannte ungerade Eckenanzahl, die theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist
10100GoogoleckGoogolgonRotes X oder Kreuzchensymbol für neinEckenzahl: eine 1 mit 100 Nullen
UnendlicheckApeirogonRotes X oder Kreuzchensymbol für neinTheoretische Grenzform mit unendlich vielen Seiten

Weitere Typen

Klassifikation von Polygonen
Überschlagenes Polygon
Bei einfachen Polygonen berühren sich die Kanten nur in den Eckpunkten; bei überschlagenen Polygonen haben die Kanten zusätzliche Schnittpunkte durch Überschneidung.
Nicht-überschlagenes Polygon
Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
Planares Polygon
In der Ebene liegendes (planares) Polygon.
Nicht-planares Polygon
Im Raum liegendes (nicht-planares) Polygon.

Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein:

Regelmäßiges Polygon
Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.
Sternpolygon
Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
Orthogonales Polygon
Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

Eigenschaften

Winkel

In einem nicht überschlagenen, ebenen -Eck ist die Summe der Innenwinkel

.

Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken

.

Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

  bzw.   .

Diagonalen

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

  1. Jede der Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
  2. Die Verbindung von Ecke zur Ecke ist mit der Verbindung von nach identisch.
  3. Genau Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes -Eck genau Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Umfang

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:

Fläche

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen positiv orientierten Polygons durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel und deren Variationen berechnet werden:

In den Formeln gilt: .

Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

Algorithmen

Flächeninhalt

Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind , , , die Koordinaten der Eckpunkte des Polygons.

Konvexe Hülle

Algorithmen für die Ermittlung der konvexen Hülle von Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von . Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von Zahlen (siehe Sortierverfahren). Liegen nur der Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei .

Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle:

  • Graham-Scan-Algorithmus
  • Gift-Wrapping-Algorithmus
  • QuickHull
  • Inkrementeller Algorithmus
  • Chans Algorithmus

Punkt im Polygon

Die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten gibt an, ob sich der Punkt innerhalb oder außerhalb des Polygons befindet.

Es gibt einen einfachen Algorithmus, mit dem geprüft werden kann, ob sich ein Punkt innerhalb eines Polygons in der Ebene befindet:

Es wird eine horizontaler Strahl durch den untersuchten Punkt gelegt und untersucht, wie oft sich der Strahl mit den Kanten des Polygons schneidet. Der Punkt befindet sich innerhalb des Polygons, wenn die Anzahl der Schnittpunkte rechts vom Punkt ungerade ist. Wenn die Anzahl gerade ist, befindet sich der Punkt außerhalb.

Verwendung

In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

In der Architektur werden regelmäßige Polygone oft als Grundriss verwendet. Bekannte Beispiele:

Beispiele für Polygone im Maschinenbau

Weiterhin wird der Begriff Polygon auch analog für die Verwendung als formschlüssige polygonale Welle-Nabe-Verbindung im Maschinenbau genutzt. Hierbei sind beliebige Polygonprofile denkbar.

Beispiele für Polygone in der Geographie

US-Bundesstaaten mit polygonalen Umrissen

Die Grenzen der US-Bundesstaaten Colorado und Wyoming umranden näherungsweise jeweils ein Rechteck und damit ein konvexes Polygon.

Die Staaten New Mexico und Utah haben jeweils die Form eines konkaven Polygons.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Polygon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. Dieter Neßelmann: 1 Ein axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie, Satz 1.1.3. In: Manuskript zur Vorlesung. Universität Rostock, 22. Februar 2010, S. 4–5, abgerufen am 23. Oktober 2021.

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Polygonförmige US-Bundesstaaten
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Some polygons of different kinds: open (excluding its boundary) and convex, convex bounding circuit only (ignoring its interior), non-convex closed (bounded interior), and self-intersecting with varying densities of different regions.