Diagonalensatz

Der Diagonalensatz ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, mit dem eine charakteristische Bedingung formuliert wird, unter der ein Viereck der euklidischen Ebene ein Parallelogramm ist.

Formulierung des Satzes

Parallelogramm mit Diagonalen

Der Satz besagt folgendes:^[1]

Gegeben sei ein Viereck ${\displaystyle \square {ABCD}}$ der euklidischen Ebene.

Dann gilt:

${\displaystyle \square {ABCD}}$ ist jedenfalls dann ein Parallelogramm, wenn die beiden Diagonalen ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ sich gegenseitig halbieren in der Weise, dass die Mittelpunkte der beiden Diagonalen übereinstimmen.

Herleitung mittels Vektorrechnung

Die Bedingung besagt, dass es in der euklidischen Ebene einen Punkt ${\displaystyle S}$ gibt dergestalt, dass die beiden Vektorgleichungen ${\displaystyle {\overrightarrow {AS}}={\overrightarrow {SC}}}$ und ${\displaystyle {\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {SD}}}$ bestehen.

Daraus folgert man:

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SD}}={\overrightarrow {SC}}+{\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {BS}}+{\overrightarrow {SC}}={\overrightarrow {BC}}}$.

Genauso ergibt sich:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SB}}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {BS}})}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {SD}})}=-({\overrightarrow {CS}}+{\overrightarrow {SD}})=-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {DC}}}$.

Dies beweist den Satz.

Verallgemeinerung auf Koordinatenebenen

Der Diagonalensatz lässt sich auf affine Koordinatenebenen ${\displaystyle {\mathbb {A} }_{2}(K)=K^{2}}$ über kommutativen Körpern ${\displaystyle K}$ einer Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$ ausdehnen und verschärfen; und zwar wie folgt:^[2]

Gegeben seien vier paarweise verschiedene nichtkollineare Punkte ${\displaystyle A,B,C,D\in {\mathbb {A} }_{2}(K)}$.

Dann sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:

(A1) Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm; d. h.:

Es sind ${\displaystyle {A\vee B}\parallel {C\vee D}}$ und ${\displaystyle {A\vee D}\parallel {B\vee C}}$.^[3]

(A2) Die beiden Diagonalen ${\displaystyle {A\vee C}}$ und ${\displaystyle {B\vee D}}$ schneiden sich im Mittelpunkt der beiden Diagonalen; d. h.:

Es gilt ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(A+C)={\frac {1}{2}}(B+D)}$ .

Anmerkung zu Koordinatenebenen über Körpern der Charakteristik 2

Für einen kommutativen Körper ${\displaystyle K}$ der Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=2}$ ist der Sachverhalt anders. Bilden in diesem Falle vier Punkte ein Parallelogramm, so sind die Diagonalen parallel.^[4]

Siehe auch

• Satz von Commandino
• Satz von Varignon

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0. 
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim - Wien - Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2. 

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652
2. ↑ Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 59
3. ↑ Für zwei Punkte ${\displaystyle X,Y\in {\mathbb {A} }_{2}(K)}$ ist ${\displaystyle {X\vee Y}}$ die Verbindungsgerade.
4. ↑ Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 60