Borel-Isomorphie

Als Borel-Isomorphie wird eine Beziehung zwischen zwei Messräumen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet. Sind zwei Messräume Borel-isomorph, so sind sie aus maßtheoretischer Sicht gleich. Das erlaubt es, Argumentationen und Strukturen von dem einen Raum auf den anderen Raum zu übertragen.

Definition

Gegeben seien zwei Messräume ${\displaystyle (S,{\mathcal {B}}(S)),(T,{\mathcal {B}}(T))}$, wobei als σ-Algebra jeweils die entsprechende Borelsche σ-Algebra gewählt sei.

Dann heißen die beiden Messräume Borel-isomorph, wenn es eine Funktion

${\displaystyle f\colon (S,{\mathcal {B}}(S))\to (T,{\mathcal {B}}(T))}$

gibt, die folgende Eigenschaften besitzt:

• ${\displaystyle f}$ ist bijektiv
• ${\displaystyle f}$ ist bimessbar

Dabei heißt eine Funktion ${\displaystyle f}$ bimessbar, wenn sowohl ${\displaystyle f}$ als auch die Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ messbar sind.

Borel-Räume

Wichtiges Beispiel für Borel-Isomorphie sind die sogenannten Borel-Räume. Dies sind Messräume, die Borel-isomorph zu einer Borel-messbaren Teilmenge der reellen Zahlen (versehen mit der entsprechenden Spur-${\displaystyle \sigma }$-Algebra der Borelschen σ-Algebra auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$) sind.

Belege

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7. 
• A.G. El'kin: Borel isomorphism. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).