Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

Definition

Zwei normierte Räume ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert _{X})}$ und ${\displaystyle (Y,\Vert \cdot \Vert _{Y})}$ sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Vektorraumisomorphismus ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also ${\displaystyle \Vert Tx\Vert _{Y}=\Vert x\Vert _{X}}$ erfüllt. Man schreibt dann ${\displaystyle X\cong Y}$.

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator ${\displaystyle T}$ übernimmt die Identifizierung von Elementen aus ${\displaystyle X}$ mit Elementen aus ${\displaystyle Y.}$ Die Isometrie von ${\displaystyle T}$ sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung ${\displaystyle T^{-1}}$ wieder eine isometrische Isomorphie.

Beispiele

• Jeder separable unendlich-dimensionale Hilbertraum ist isometrisch isomorph zum Raum ${\displaystyle \ell ^{2}}$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.
• Zwei Hilberträume sind genau dann isometrisch isomorph, wenn ihre Hilbertraumdimensionen übereinstimmen.
• Jeder normierte Vektorraum ist isometrisch isomorph zu einem Untervektorraum des Raumes ${\displaystyle (C(K),\Vert \cdot \Vert _{\infty })}$ der stetigen Funktionen auf einem geeignet gewählten kompakten topologischen Raum ${\displaystyle K}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der Supremumsnorm.
• Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable, normierte Raum isometrisch isomorph zu einem Unterraum des Raums ${\displaystyle (C([0,1]),\Vert \cdot \Vert _{\infty })}$ der stetigen Funktionen vom Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der Supremumsnorm.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7