Standard-Borel-Raum

In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Standard-Borel-Räume eine sehr allgemeine Klasse von Maßräumen.

Definition

Ein Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ ist ein Standard-Borel-Raum, wenn er isomorph zu einem polnischen Raum mit seiner borelschen σ-Algebra ist.

Klassifikation

Standard-Borel-Räume werden durch ihre Kardinalität klassifiziert. Insbesondere ist jeder überabzählbare Standard-Borel-Raum isomorph zu den reellen Zahlen mit ihrer borelschen σ-Algebra.

Eigenschaften

• Wenn es auf einem Raum ${\displaystyle X}$ zwei σ-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {B}}}$ gibt, für die ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),(X,{\mathcal {B}})}$ Standard-Borel-Räume sind, dann ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$.
• Zu jeder bijektiven messbaren Abbildung zwischen Standard-Borel-Räumen ist auch die Umkehrabbildung messbar.
• Eine Abbildung zwischen Standard-Borel-Räumen ist genau dann messbar, wenn ihr Graph eine messbare Teilmenge des Produktraumes ist.
• Die Vervollständigung eines mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß versehenen Standard-Borel-Raumes ist ein Standard-Wahrscheinlichkeitsraum.

Literatur

• Alexander S. Kechris, "Classical descriptive set theory", Springer-Verlag (1995).

Weblinks

• Standard Borel space (Encyclopedia of Mathematics)