Witt-Algebra

Die Witt-Algebra wird in der Mathematik untersucht, es handelt sich um eine spezielle Lie-Algebra. Sie findet Verwendung in der mathematischen Physik, wie in der Stringtheorie und konformen Feldtheorie. Namensgeber ist der deutsche Mathematiker Ernst Witt.

Definition

Sei ${\displaystyle L_{j}}$ mit ${\displaystyle j}$ als ganzzahligem Index eine Basis eines Vektorraumes. Die durch die Kommutatorrelation

${\displaystyle [L_{j},L_{k}]:=(j-k)\cdot L_{j+k}}$

definierte Lie-Algebra heißt Witt-Algebra. Man erhält solche Algebren als Derivationen-Algebra über dem Ring der Laurent-Polynome.

Realisierung durch Vektorfelder

In den meisten Anwendungen betrachtet man Derivationen über ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Man kann die Witt-Algebra wie folgt durch komplexwertige Vektorfelder realisieren:

${\displaystyle L_{n}:=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

sl(2,K) als Unteralgebra

Aus obigen Kommutatorrelationen ergibt sich sofort, dass für ${\displaystyle n>0}$ die von ${\displaystyle L_{-n},L_{0},L_{n}}$ erzeugte Unter-Lie-Algebra gleich ${\displaystyle K\cdot L_{-n}+K\cdot L_{0}+K\cdot L_{n}}$ ist. Diese drei-dimensionale Unter-Lie-Algebra ist isomorph zur sl(2,K).

Zentrale Erweiterung

Wenn man die Witt-Algebra durch den Kozykel

${\displaystyle \omega (L_{m},L_{n}):={\frac {1}{12}}(n^{3}-n)\delta _{m+n,0}}$

zentral erweitert, so erhält man die Virasoro-Algebra.

Quellen

Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5