Virasoro-Algebra

Die Virasoro-Algebra ist eine unendlichdimensionale Lie-Algebra und gehört damit in den Bereich der Mathematik. Sie findet Verwendung in der mathematischen Physik, insbesondere in der Stringtheorie und in der konformen Feldtheorie. Dort wird sie als Algebra über den komplexen Zahlen behandelt, anstelle der komplexen Zahlen sind aber auch beliebige Körper der Charakteristik 0 verwendbar. Sie wurde 1970 von Miguel Virasoro im Rahmen der Stringtheorie eingeführt. In der Mathematik spielt sie eine wichtige Rolle bei der Konstruktion der Monstergruppe.

Konstruktion

Ausgangspunkt ist die Witt-Algebra ${\displaystyle W}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ der Charakteristik 0 (zum Beispiel ${\displaystyle \mathbb {C} }$), die von Elementen ${\displaystyle d_{n},n\in \mathbb {Z} }$ mit den Kommutatorrelationen ${\displaystyle [d_{m},d_{n}]\,=\,(m-n)d_{m+n}}$ erzeugt werde. Eine Virasoro-Algebra ${\displaystyle V}$ ist definiert als zentrale Erweiterung dieser Witt-Algebra. Das heißt, es gibt eine kurze exakte Sequenz von Lie-Algebren

${\displaystyle 0\rightarrow K\cdot c\rightarrow V\rightarrow W\rightarrow 0}$.

${\displaystyle K\cdot c}$ ist ein eindimensionaler Vektorraum, den man sich in ${\displaystyle V}$ enthalten denken kann. Dabei soll ${\displaystyle c}$ im Zentrum von ${\displaystyle V}$ liegen, man bezeichnet ${\displaystyle c}$ auch manchmal als „zentrale Ladung“ der Virasoro-Algebra. Die Virasoro-Algebra ${\displaystyle V}$ wird dann von ${\displaystyle c}$ und Elementen ${\displaystyle L_{n}}$, die Urbilder der ${\displaystyle d_{n}}$ sind, erzeugt. Für die Kommutatorrelationen hat man gewisse Wahlmöglichkeiten. Eine häufige Wahl ist

• ${\displaystyle [v,c]\,=\,0}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$, denn ${\displaystyle c}$ ist im Zentrum von ${\displaystyle V}$,
• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]:=(m-n)\cdot L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}$ für alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$.

Dabei steht ${\displaystyle \delta }$ für das Kronecker-Delta. Man nennt ${\displaystyle {\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}$ den zentralen Anteil der Kommutatorrelation; diesen Anteil kann man im allgemeinsten Fall als ${\displaystyle \alpha m^{3}+\beta m}$ mit ${\displaystyle \alpha ,\beta \in K}$ wählen. Die vorliegende Wahl wird dadurch motiviert, dass ${\displaystyle m^{3}-m}$ für ${\displaystyle m=-1,0,1}$ verschwindet und daher ${\displaystyle K\cdot L_{-1}+K\cdot L_{0}+K\cdot L_{1}\subset V}$ in obiger Sequenz isomorph auf ${\displaystyle K\cdot d_{-1}+K\cdot d_{0}+K\cdot d_{1}\subset W}$ abgebildet wird, wobei letzteres eine zur sl(2,K) isomorphe Lie-Algebra ist. Der Faktor ${\displaystyle 1/12}$ erklärt sich dadurch, dass es bestimmte Darstellungen der Virasoro-Algebra gibt, bei denen dieser Faktor dann verschwindet; das ist lediglich eine bequeme Konvention.

Eine alternative Konvention

Eine alternative Wahl der Kommutatorrelationen erhält man, wenn man von ${\displaystyle L_{n}}$ zu ${\displaystyle L_{n}':=L_{n}-{\frac {c}{24}}\delta _{n,0}}$ übergeht. Eine kurze Rechnung zeigt

• ${\displaystyle [L_{m}',L_{n}']:=(m-n)\cdot L_{m+n}'+{\frac {cm^{3}}{12}}\delta _{m+n,0}}$,

das heißt, man kann den linearen Term des zentralen Anteils der Kommutatorrelationen zum Verschwinden bringen.

Äquivalenzen

Zwei zentrale Erweiterungen der Witt-Algebra ${\displaystyle 0\rightarrow K\cdot c\,{\stackrel {i_{1}}{\rightarrow }}\,V_{1}\,{\stackrel {p_{1}}{\rightarrow }}\,W\rightarrow 0}$ und ${\displaystyle 0\rightarrow K\cdot c\,{\stackrel {i_{2}}{\rightarrow }}\,V_{2}\,{\stackrel {p_{2}}{\rightarrow }}\,W\rightarrow 0}$ heißen äquivalent, wenn es einen Lie-Algebren-Isomorphismus ${\displaystyle \phi \colon V_{1}\to V_{2}}$ gibt mit ${\displaystyle i_{2}=\phi \circ i_{1}}$ und ${\displaystyle p_{1}=p_{2}\circ \phi }$ gibt.

Man kann zeigen, dass es bis auf Äquivalenz nur eine zentrale Erweiterung ${\displaystyle 0\rightarrow K\cdot c\rightarrow V\rightarrow W\rightarrow 0}$ gibt, die nicht äquivalent zu einer semidirekten Summe ${\displaystyle K\cdot c\oplus W}$ ist, nämlich die oben eingeführte Virasoro-Algebra.

Quellen

• Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5