Weierstraßsches Majorantenkriterium

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage

Sei eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge . Seien reelle Konstanten, so dass

für alle und alle in gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe .

Dann gilt: Die Reihe

konvergiert absolut und gleichmäßig auf .[1]

Beispiel

Sei eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

überall stetig, aber nirgends differenzierbar.[2] Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

sowie

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert. Damit ist als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur

  • Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)

Einzelnachweise

  1. H. Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Vieweg+Teubner (2009), Satz 105.3, S. 555.
  2. E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114.