Weierstraßsches Majorantenkriterium

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage

Sei ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge ${\displaystyle A}$. Seien ${\displaystyle M_{n}}$ reelle Konstanten, so dass

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

für alle ${\displaystyle n\geq 1}$ und alle ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle A}$ gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$.

Dann gilt: Die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

konvergiert absolut und gleichmäßig auf ${\displaystyle A}$.^[1]

Beispiel

Sei ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}}$

überall stetig, aber nirgends differenzierbar.^[2] Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

${\displaystyle \left|2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}\right|=2^{-n\alpha }}$

sowie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{\alpha }}}\right)^{n}={\frac {1}{1-2^{-\alpha }}}<\infty }$

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe ${\displaystyle f(x)}$ gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen ${\displaystyle f}$ konvergiert. Damit ist ${\displaystyle f}$ als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur

• Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)

Einzelnachweise

1. ↑ H. Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Vieweg+Teubner (2009), Satz 105.3, S. 555.
2. ↑ E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114.