Verzerrtes Produkt

In der Mathematik und der Physik, insbesondere in der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie, bezeichnet das verzerrte Produkt zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Produktmannigfaltigkeit mit der verzerrten Produktmetrik.

Definition

Unter dem verzerrten Produkt ${\displaystyle M\times _{f}N}$ zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle (M,g_{M})}$ und ${\displaystyle (N,g_{N})}$ längs einer strikt positiven Funktion ${\displaystyle f\colon M\to (0;\infty )}$ versteht man die Produktmannigfaltigkeit ${\displaystyle M\times N}$ ausgestattet mit dem metrischen Tensor ${\displaystyle g:=\pi ^{*}(g_{M})+(f\circ \pi )^{2}\sigma ^{*}(g_{N})}$. Dabei bezeichnen ${\displaystyle \pi \colon M\times N\to M}$ und ${\displaystyle \sigma \colon M\times N\to N}$ die natürlichen Submersionen und ${\displaystyle g^{*}}$ den Pullback eines Tensors unter einer Abbildung g zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Dabei wird ${\displaystyle M}$ als Basis und ${\displaystyle N}$ als Faser der Produktmannigfaltigkeit bezeichnet.

Definition verzerrte Metrik

Unter einer verzerrten Produktmetrik versteht man eine Riemannsche oder Lorentzsche Mannigfaltigkeit, deren Metrik durch

${\displaystyle ds^{2}\,=g_{ab}(y)dy^{a}dy^{b}+f(y)g_{ij}(x)dx^{i}dx^{j}}$

dargestellt werden kann. D. h. insbesondere zerfällt die betrachtete Mannigfaltigkeit in das kartesische Produkt einer „y“- und einer „x“-Geometrie, wobei die „x“-Metrik verzerrt wird.

Literatur

• Barrett O’Neill: Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity (Pure and applied mathematics; Bd. 103). Academic Press, New York 1983, ISBN 0-12-526740-1.