Hadamard-Mannigfaltigkeit

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Hadamard-Mannigfaltigkeiten einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung.

Definition

Eine Hadamard-Mannigfaltigkeit ist eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung.

Eigenschaften

Hadamard-Mannigfaltigkeiten sind CAT(0)-Räume – das folgt aus dem Satz von Toponogow.

Hadamard-Mannigfaltigkeiten sind zusammenziehbar – das folgt aus dem Satz von Cartan-Hadamard.

Beispiele

• der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• der hyperbolische Raum
• ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )/SO(n)}$
• allgemeiner alle symmetrischen Räume ohne kompakten Faktor
• Produkte von Hadamard-Mannigfaltigkeiten

Literatur

• Patrick Barry Eberlein, Barrett O’Neill: Visibility manifolds. In: Pacific Journal of Mathematics. Bd. 46, Nr. 1, 1973, ISSN 0030-8730, 45–109, doi:10.2140/pjm.1973.46.45.
• Werner Ballmann, Mikhael Gromov, Viktor Schroeder: Manifolds of nonpositive curvature (= Progress in Mathematics. 61). Birkhäuser, Boston u. a. 1985, ISBN 3-7643-3181-X.