Smash-Produkt

Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Für zwei gegebene punktierte topologische Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ mit Basispunkten ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle y_{0}}$ betrachtet man zunächst den Produktraum ${\displaystyle X\times Y}$ mit der Identifizierung ${\displaystyle (x,y_{0})\sim (x_{0},y)}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ und alle ${\displaystyle y\in Y}$. Der Quotient von ${\displaystyle X\times Y}$ unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ und wird mit ${\displaystyle X\wedge Y}$ bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle X\times \left\{y_{0}\right\}}$ und ${\displaystyle Y}$ mit ${\displaystyle \left\{x_{0}\right\}\times Y}$ identifiziert, so schneiden sich ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ und ihre Vereinigung liefert den Unterraum ${\displaystyle X\vee Y}$ von ${\displaystyle X\times Y}$. Das Smash-Produkt ist dann der Quotient

${\displaystyle X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y}$.

Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopie-Theorie wichtig, wo es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element. Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homöomorphie und assioziativ bis auf Homotopie, d. h. ${\displaystyle X\wedge (Y\wedge Z)}$ und ${\displaystyle (X\wedge Y)\wedge Z}$ sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotopieäquivalent.

Beispiele

• Das Smash-Produkt von zwei Sphären ${\displaystyle S^{m}}$ und ${\displaystyle S^{n}}$ ist homöomorph zur Sphäre ${\displaystyle S^{m+n}}$. Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.
• Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:

${\displaystyle \Sigma X=S^{1}\wedge X.}$

Funktorielle Eigenschaften

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für ${\displaystyle A}$ lokalkompakt gilt die Adjunktionsformel

${\displaystyle \mathrm {Top} _{\bullet }(X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Top} _{\bullet }(X,\mathrm {Top} _{\bullet }(A,Y))\,,}$

wobei ${\displaystyle Top_{*}(A,Y)}$ den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für ${\displaystyle A}$ den Einheitskreis ${\displaystyle S^{1}}$ nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung ${\displaystyle \Sigma }$ links adjungiert zum Schleifenraum ${\displaystyle \Omega }$ ist.