Wedge-Produkt (Topologie)

Mit dem Wedge-Produkt (nach wedge engl. Keil; auch Einpunktvereinigung oder Bouquet genannt) ${\displaystyle X\vee Y}$ zweier punktierter topologischer Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ bezeichnet man ihre disjunkte Vereinigung, die an einem Punkt (dem Basispunkt) verklebt ist. Formal ist die Definition wie folgt:

${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)/(pt\amalg pt)}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle pt}$ den jeweiligen Basispunkt.

Die Konstruktion kann man auch auf eine beliebige Menge von Räumen verallgemeinern:

${\displaystyle \bigvee _{i\in I}X_{i}=\left(\coprod _{i\in I}X_{i}\right)/\left(\coprod _{i\in I}pt_{i}\right)}$

Abstrakter kann man das Wedge-Produkt als das Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen Räume auffassen.

Rolle in der algebraischen Topologie

Das Wedge-Produkt verhält sich gut bezüglich einiger Funktoren in der algebraischen Topologie. Zum Beispiel gilt für die Fundamentalgruppe für lokal-kontrahierbare Räume ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)=\mathop {*} _{i\in I}\pi _{1}(X_{i}),}$

wobei ${\displaystyle *}$ das freie Produkt der Gruppen bezeichnet.

In der singulären Homologie gilt:

${\displaystyle H_{n}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i},pt\right)=\bigoplus _{i\in I}H_{n}(X_{i},pt)}$

Man kann das Wedge-Produkt ${\displaystyle X\vee Y}$ auf naheliegende Weise in das Produkt ${\displaystyle X\times Y}$ einbetten, der Quotient

${\displaystyle X\wedge Y:=X\times Y/X\vee Y}$

ist das Smash-Produkt.

Insbesondere ist ${\displaystyle \Sigma X:=S^{1}\wedge X}$ die reduzierte Einhängung, von Bedeutung in der stabilen Homotopietheorie.

Das Wedge-Produkt wird auch in der Definition der Verknüpfung in den Homotopiegruppen verwendet.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002