Multinomialkoeffizient

Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen und ist er definiert als


Dabei ist die Fakultät von , bzw. analog ist jeweils das Produkt aller natürlichen Zahlen .

Für und muss sein und man erhält den Binomialkoeffizienten .

Eigenschaften

Die Multinomialkoeffizienten sind stets ganze Zahlen.

Die Multinomialkoeffizienten lassen sich auch mit den Binomialkoeffizienten ausdrücken als

.

Anwendungen und Interpretationen

Multinomialsatz

In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt das sogenannte Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz)

.

Aus dem Multinomialsatz folgt sofort:

Multinomialverteilung

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung

,

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

Kombinatorische Deutungen

Objekte in Kisten

Der Multinomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, Objekte in Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau Objekte sollen, in die zweite Schachtel Objekte usw.

Beispiel

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?

Da es sich um Objekte handelt, die in Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je Objekte und in die vierte Schachtel Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:

Anordnung von Dingen

Der Multinomialkoeffizient gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von Dingen an, wobei das erste -mal (ununterscheidbar) vorkommt, das zweite -mal usw.

Beispiel

Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?

Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, 11 Dinge anzuordnen, wobei das erste ("M") -mal, das zweite ("I") -mal (ununterscheidbar) vorkommt, das dritte ("S") ebenso und das vierte ("P") -mal. Das ist also der Multinomialkoeffizient

Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf komplett verschiedene Dinge in Reihen anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

Pascalsche Simplizes

Analog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die -ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu -dimensionalen pascalschen Simplizes.

Weblinks