Multinomialtheorem

In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung der binomischen Formel auf die Summe beliebig vieler Koeffizienten dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Formel

Der Multinomialkoeffizient ist für nichtnegative ganze Zahlen ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$ und ${\displaystyle k:=\!\,k_{1}+\ldots +k_{n}}$ definiert als

${\displaystyle {k \choose k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}}:={\frac {k!}{k_{1}!\cdot \,\ldots \,\cdot k_{n}!}}.}$

Der Multinomialsatz lautet dann

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})^{k}\,=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}=k}{k \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}\,\cdot \,x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}.}$

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{{k} \choose \alpha }\cdot x^{\alpha }.}$

Dabei identifiziert man ${\displaystyle x}$ mit dem Vektor ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Anwendung

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

${\displaystyle n^{k}=(1+\cdots +1)^{k}=\sum _{|\beta |=k}{\frac {|\beta |!}{\beta !}}\geq {\frac {|\alpha |!}{\alpha !}}}$ für alle ${\displaystyle \alpha }$ mit ${\displaystyle |\alpha |=k}$,

also

${\displaystyle |\alpha |!\leq n^{|\alpha |}\cdot \alpha !}$.

Beweisskizze

Das Multinomialtheorem lässt sich wahlweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über ${\displaystyle n}$ unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.

Siehe auch

• Multinomialverteilung

Literatur

• Dominique Foata, Aimé Fuchs: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Birkhäuser 1999, ISBN 3-7643-6169-7, S. 41–42 (Auszug in der Google-Buchsuche)
• Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. Springer 2007, ISBN 978-3-540-30150-9, S. 79 (Auszug in der Google-Buchsuche)
• S.A. Rukova: Multinomial coefficient. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Multinomial Coefficient. In: MathWorld (englisch).