Monge-Punkt

Der Monge-Punkt ist ein Gegenstand der Raumgeometrie. Er ist nach dem französischen Mathematiker Gaspard Monge benannt, welcher diesen ausgezeichneten Punkt des allgemeinen Tetraeders als erster beschrieben und durch den im Folgenden dargestellten Satz von Monge charakterisiert hat.^[1][2][3]

Satz und Definition

Gegeben sei ein Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ mit Kanten ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f}$. Für jede ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kante ${\displaystyle x}$ sei ${\displaystyle M(x)}$ der jeweilige Mittelpunkt und ${\displaystyle x^{'}}$ die ${\displaystyle x}$ gegenüberliegende ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kante. Durch ${\displaystyle M(x)}$ liegt jeweils genau eine Ebene ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x)\subset \mathbb {R} ^{3}}$ derart, dass ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x)}$ und ${\displaystyle x^{'}}$ exakt senkrecht zueinander sind.

Dafür gilt:

Der Durchschnitt ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{x=a,b,c,d,e,f}{{\mathcal {E}}(x)}}$ besteht aus genau einem Punkt ${\displaystyle M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}}$.

Dieser eindeutig bestimmte Punkt ${\displaystyle M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}}$ ist der Monge-Punkt von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Die oben beschriebenen Ebenen ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x)\subset \mathbb {R} ^{3}}$   ${\displaystyle {(x=a,b,c,d,e,f)}}$ werden auch als Monge-Ebenen (engl. Monge planes) bezeichnet.^[4] Mit diesen lässt sich der Satz von Monge in aller Kürze wie folgt wiedergeben:

In einem Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ schneiden sich die Monge-Ebenen in einem Punkt, nämlich im Monge-Punkt ${\displaystyle M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}}$.

Der Satz von Mannheim

Zur Charakterisierung des Monge-Punkts lässt sich auch der folgende Satz heranziehen, welcher auf den französischen Mathematiker Amédée Mannheim zurückgeht:^[5]

Legt man in dem Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ durch jede seiner vier Höhen sowie den Höhenschnittpunkt des der jeweiligen Höhe zugehörigen senkrecht stehenden Seitendreiecks die (eindeutig bestimmte!) Ebene, so haben die auf diese Weise gegebenen vier Ebenen den Monge-Punkt ${\displaystyle M({\mathcal {T}})}$ als Schnittpunkt.

Lage auf der Eulerschen Geraden

Im allgemeinen Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ist die Eulersche Gerade (engl. Euler line) diejenige Gerade ${\displaystyle e({\mathcal {T}})\subset \mathbb {R} ^{3}}$, welche den Schwerpunkt ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ und den Mittelpunkt ${\displaystyle Z({\mathcal {T}})}$ der Umkugel von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ verbindet. Der Monge-Punkt ${\displaystyle M({\mathcal {T}})}$ erweist sich als derjenige ausgezeichnete Punkt des allgemeinen Tetraeders ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, welcher in Bezug auf ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ spiegelbildlich zum Punkte ${\displaystyle Z({\mathcal {T}})}$ auf der Geraden ${\displaystyle e({\mathcal {T}})}$ liegt. Anders gesagt: Der Monge-Punkt ${\displaystyle M({\mathcal {T}})}$ liegt im allgemeinen Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ auf der Geraden ${\displaystyle e({\mathcal {T}})}$ jenseits von ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ derart, dass ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ der Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle {\overline {{M({\mathcal {T}})}{Z({\mathcal {T}})}}}}$ ist^[4][2][6].

Literatur

Artikel

• H. F. Thompson: A Geometrical Proof of a Theorem connected with the Tetrahedron. In: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. (Series I). Band 27, 1908, S. 51–53. 

Monographien

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx, NY 1964, OCLC 1597161. 
• Heinrich Schröter: Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung als Erzeugnisse projektivischer Gebilde. Teubner, Leipzig 1880. 
• Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics. 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia [u. a.] 1983, ISBN 0-03-062064-3. 

Einzelnachweise

1. ↑ Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 1964, S. 76, 340
2. ↑ ^{a b} Heinrich Schröter: Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung als Erzeugnisse projektivischer Gebilde. 1880, S. 209
3. ↑ H. F. Thompson: A Geometrical Proof of a Theorem connected with the Tetrahedron. 1908, S. 51
4. ↑ ^{a b} Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 1964, S. 77
5. ↑ Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 1964, S. 78–79
6. ↑ Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics.. 1983, S. 340