Harnacksches Prinzip

Das Harnacksche Prinzip, auch als Satz von Harnack zitiert, ist ein grundlegender Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie, welcher auf den Mathematiker Axel Harnack (1851–1888) zurückgeht, der diesen Satz in einer Arbeit des Jahres 1886 vorgetragen hat. Das Harnacksche Prinzip behandelt das Konvergenzverhalten monoton wachsender Folgen harmonischer Funktionen. Es beruht auf der ebenfalls von Axel Harnack gefundenen und nach ihm benannten Ungleichung.^[1][2][3][4]

Formulierung des Prinzips im klassischen komplexen Fall

Gegeben sei eine offene Menge ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ und dazu eine Folge ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ harmonischer Funktionen ${\displaystyle {u_{n}}\colon \,D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} )}$, welche punktweise monoton anwachse:

${\displaystyle u_{1}(z)\leq u_{2}(z)\leq \ldots }$ ${\displaystyle (z\in D)}$.

Sei für ${\displaystyle z\in D}$

${\displaystyle u(z)=\sup _{n\in \mathbb {N} }{u_{n}(z)}=\lim _{n\to \infty }{u_{n}(z)}}$

Seien weiter

${\displaystyle D_{0}=\{z\in D:\,u(z)<\infty \}}$

und

${\displaystyle D_{1}=\{z\in D:\,u(z)=\infty \}}$

Dann gilt:

(1) Sowohl ${\displaystyle D_{0}}$ als auch ${\displaystyle D_{1}}$ sind zugleich offen und abgeschlossen in ${\displaystyle D}$.

(2) Für den Fall, dass ${\displaystyle D}$ ein Gebiet von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist, gilt entweder stets ${\displaystyle u(z)=\infty }$ für ${\displaystyle z\in D}$ oder stets ${\displaystyle u(z)<\infty }$ für ${\displaystyle z\in D}$.

(3) Ist ${\displaystyle D}$ ein Gebiet von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und gilt ${\displaystyle u(z_{0})<\infty }$ für ein ${\displaystyle z_{0}\in D}$ , so ist die Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergent und die Grenzfunktion ${\displaystyle u}$ ist ebenfalls eine harmonische Funktion.

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Wie schon Axel Harnack selbst andeutet,^[5] gilt das entsprechende Prinzip mit ganz ähnlicher Formulierung auch für den Fall der harmonischen Funktionen auf offenen Mengen des ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ . Hier beruht der Beweis auf der n-dimensionalen Version der Harnackschen Ungleichung.^[6][7]

Literatur

Originalarbeit

• Axel Harnack: Existenzbeweise zur Theorie des Potentiales in der Ebene und im Raume. In: Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften. 1886, S. 144–169. 
• Axel Harnack: Existenzbeweise zur Theorie des Potentiales in der Ebene und im Raume. In: Mathematische Annalen. Band 35, 1890, S. 19–40. 

Monographien

• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6. 
• Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey: Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1992, ISBN 3-540-97875-5. 
• Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: Einführung in die Funktionentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 30). Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1965. 
• W. K. Hayman, P. B. Kennedy: Subharmonic functions (= L. M. S. Monographs. Band 9). Volume I. Academic Press, London [u. a.] 1976. 
• Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2009, ISBN 978-3-540-87899-5. 
• Lars Valerian Ahlfors: Complex Analysis. An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York [u. a.] 1979, ISBN 0-07-000657-1. 

Einzelnachweise

1. ↑ Harnack: Ber. Verhandl. Kön. Sächs. Gesell. Wiss. Leipzig. 1886, S. 144 ff. 
2. ↑ Freitag: S. 59 ff.
3. ↑ Nevanlinna / Paatero: S. 234 ff.
4. ↑ Rudin: S. 283 ff.
5. ↑ Vgl. Schlussbemerkung in seiner Abhandlung in den Math. Ann., Band 35, S. 40.
6. ↑ Hayman / Kennedy: S. 35 ff.
7. ↑ Axler/ Bourdon / Ramey: S. 47 ff.