Satz von Pohlke

Der Satz von Pohlke, auch Fundamentalsatz der Axonometrie oder Hauptsatz der Axonometrie genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Darstellenden Geometrie. Er geht auf den Karl Wilhelm Pohlke zurück und behandelt eine grundlegende Fragestellung der Axonometrie.

Formulierung des Satzes

Satz von Pohlke

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

(P) Jedes beliebige ebene Dreibein des euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , dessen Strecken nicht alle auf einer Geraden liegen, kann aufgefasst werden als das durch eine Parallelprojektion entstandene Abbild eines orthonormierten räumlichen Dreibeins.

Etwas allgemeiner ausgedrückt:

(P^') Drei in einer Ebene des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ von einem gegebenen Punkt ${\displaystyle {\overline {O}}}$ ausgehende Strecken beliebiger Länge und beliebiger Richtung können aufgefasst werden als Parallelprojektion von drei in einem weiteren gegebenen Punkt ${\displaystyle O}$ zusammenstoßenden Würfelkanten, sofern vorausgesetzt ist, dass höchstens drei der erstgenannten Punkte kollinear sind.

Ganz allgemein gilt sogar:

(PS) Sind im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ eine Ebene ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$ und zudem zwei Punkte ${\displaystyle O\in \mathbb {R} ^{3}}$ und ${\displaystyle {\overline {O}}\in E}$ gegeben und gehen von ersterem drei beliebige Strecken ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ aus, die zwar ${\displaystyle O}$ als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch in keiner gemeinsamen Ebene liegen,

während von letzterem drei weitere beliebige Strecken ${\displaystyle {\overline {S_{1}}},{\overline {S_{2}}},{\overline {S_{3}}}\subset E}$ ausgehen, die zwar ${\displaystyle {\overline {O}}}$ als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch – obwohl in der Ebene ${\displaystyle E}$ liegend – nicht kollinear sind,

so gibt es stets

eine Ähnlichkeitsabbildung ${\displaystyle \eta \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ sowie

eine Raumbewegung ${\displaystyle \beta \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ und schließlich

eine Parallelprojektion ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow E}$ ,

so dass die verkettete Abbildung ${\displaystyle \psi =\phi \circ \beta \circ \eta }$ den Eckpunkt ${\displaystyle O}$ auf den anderen Eckpunkt ${\displaystyle {\overline {O}}=\psi (O)}$ und dabei ${\displaystyle S_{k}}$ auf ${\displaystyle {\overline {S_{k}}}=\psi (S_{k})\;(k=1,2,3)}$ abbildet.

Anmerkungen zur Historie des Satzes

Pohlke hat den Fundamentalsatz etwa 1853 gefunden. Sein ursprünglicher Beweis war außergewöhnlich kompliziert und blieb unveröffentlicht.^[1] Hermann Amandus Schwarz, der ein Schüler Pohlkes war, publizierte den ersten vollständigen Beweis im Jahre 1864 und lieferte hierbei auch die oben vorgetragene allgemeinere Darstellung (PS). Den Fundamentalsatz – und ihm gleichwertige Darstellungen – bezeichnen daher manche Autoren auch Satz von Pohlke und Schwarz^[2] (englisch Pohlke-Schwarz theorem^[3]).

Korollar

Aus dem Fundamentalsatz lässt sich das folgende Korollar gewinnen, welches hinsichtlich seiner Aussagekraft als diesem gleichwertig betrachtet werden kann:^[2][3]

(PS^') Jedes in einer Ebene ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$ liegende vollständige Viereck ${\displaystyle {\mathcal {V}}\subset E}$ kann aufgefasst werden als ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines Tetraeders ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}\subset \mathbb {R} ^{3}}$, welches einem gegebenen Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ähnlich ist.^[4]

Literatur

• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 372–373 (MR1089881). 
• H. Schwarz: Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 63, 1864, S. 309–314 (MR1579271). 
• Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0, S. 50. 
• P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. Geometrie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 10). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969, S. 250–254. 
• Heinrich Brauner: Lehrbuch der konstruktiven Geometrie. Springer Verlag, Wien / New York 1969, ISBN 3-211-81833-2, S. 51, 85–86. 
• K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlin 1876 (Google Books.)
• W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt/Main, ISBN 3-87144-323-9, S. 232. 
• Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Volume 4: Monge-Ampere Equation - Rings and Algebras. An updated and annotated translation of the Soviet 'Mathematical Encyclopaedia'. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London 1995, ISBN 1-55608-010-7, S. 439. 
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. 8. Auflage. Band 1: Grundlagen Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0, S. 177. 
• Roland Stärk: Darstellende Geometrie. Schöningh-Verlag, Paderborn 1978, ISBN 3-506-37443-5. 
• Wolfgang Haack: Darstellende Geometrie. Band III: Axonometrie und Perspektive (= Sammlung Göschen. Band 2132). 5. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1980, ISBN 3-11-008271-3, S. 45 (MR0568703). 
• Eduard Stiefel: Lehrbuch der darstellenden Geometrie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Band 11). 3. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel (u. a.) 1971, ISBN 3-7643-0368-9, S. 137. 
• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik. und angrenzender Gebiete. 5. Auflage. Band 3. L-R. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2, S. 775. 

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ Heinrich Brauner schreibt allerdings in seinem Lehrbuch der konstruktiven Geometrie in einer Fußnote (Seite 51), dass Pohlke den Fundamentalsatz im Jahre 1860 sehr wohl veröffentlicht habe, wenn auch ohne Beweis.
2. ↑ ^{a b} N. M. Beskin: Abbildungsverfahren. In: P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. 1969, S. 252
3. ↑ ^{a b} Michiel Hazewinkel: Encyclopaedia of Mathematics. vol. 4. 1995, S. 439
4. ↑ Die Encyclopaedia of Mathematics (S. 439) formuliert (PS^') mit "Any complete plane quadrilateral ...". Gemeint sind jedoch jedenfalls vollständige Vierecke in einer Ebene des Raums. Die Encyclopaedia of Mathematics nennt als Quelle auch ausdrücklich die Abhandlung im Band IV der Enzyklopädie der Elementarmathematik.