Friedmann-Modell

Unter einem Friedmann-Modell oder Friedmann-Lemaître-Modell (benannt nach dem russischen Mathematiker und Meteorologen Alexander Friedmann und dem belgischen Astrophysiker Georges Lemaître)^[1] versteht man in der Kosmologie Lösungen der Friedmann-Gleichung, d. h. eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen mit konstanter Krümmung, die um jeden Punkt räumlich isotrop ist.

Friedmann-Modelle unterscheiden sich durch den Parameter ${\displaystyle k}$ aus der Robertson-Walker-Metrik

• ${\displaystyle k=+1}$: positive Krümmung
• ${\displaystyle k=0}$: keine Krümmung, flacher Raum
• ${\displaystyle k=-1}$: negative Krümmung

und den Wert der kosmologischen Konstante ${\displaystyle \Lambda }$.

Sonderfälle der Friedmann-Modelle

Einstein-Kosmos

Es handelt sich um ein nicht expandierendes oder kontrahierendes, statisches (gegenüber kleinen Änderungen instabiles) Universum mit

${\displaystyle k=+1,\quad \Lambda =\Lambda _{c}\ ,}$

wobei ${\displaystyle \Lambda _{c}=4/(\kappa M)^{2}}$ ist.^[2]:158

Lemaître-Universum

${\displaystyle k=+1,\quad \Lambda =\Lambda _{c}(1+\epsilon )\ ,}$

wobei ${\displaystyle \epsilon }$ ein sehr kleiner Parameter ist. Durch die Wahl eines geeigneten ${\displaystyle \epsilon }$ ist die Zeitskala der Expansion des Universums so gedehnt, dass zwischen zwei expandierenden Zeitphasen ein fast statisches Universum besteht.^[2]:159

De-Sitter-Modell

${\displaystyle \rho =0,\quad \Lambda >0}$

Die drei verschiedenen Werte für ${\displaystyle k}$ ergeben drei mögliche Modelle, die aber nur verschiedene Schnitte derselben Raumzeit sind.^[2]:164

Einstein-de-Sitter-Modell

Das Einstein-de-Sitter-Universum ergibt sich mit

${\displaystyle k=0,\quad \Lambda =0\ .}$

Für dieses flache, unendlich ausgedehnte Universum entwickelt sich der Parameter ${\displaystyle R}$ der Robertson-Walker-Metrik gerade mit ${\displaystyle R\sim t^{2/3}}$.^[2]:160

Einzelnachweise

1. ↑ Hubert Goenner: Einsteins Relativitätstheorien: Raum, Zeit, Masse, Gravitation. C.H.Beck, 1999, ISBN 978-3-406-45669-5, S. 96 (google.de [abgerufen am 9. April 2012]). 
2. ↑ ^{a b c d} R. Sexl, H. Urbantke: Gravitation und Kosmologie. 3., korrigierte Auflage. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1987, ISBN 3-411-03177-8.