Skalenfaktor

Der Skalenfaktor ${\displaystyle a}$ ist ein kosmologischer Parameter des Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells. Er beschreibt die Vergrößerung des Raumes im Verlauf der Expansion.

Erklärung

Der Skalenfaktor ist eine Funktion der Zeit und gibt die relative Expansion des Universums an, d. h., er stellt einen Zusammenhang her zwischen physikalischen Koordinaten ${\displaystyle D}$ und mitbewegten Koordinaten ${\displaystyle D_{c}}$:

${\displaystyle a(t)={\frac {D(t)}{D_{c}}}.}$

Der Skalenfaktor kann in Abhängigkeit der Dimensionalität der mitbewegten Entfernung im Prinzip die Einheit einer Länge haben oder dimensionslos sein. In der modernen Kosmologie wird die mitbewegte Entfernung als heutige Entfernung behandelt, also mit der Dimension der Länge, und daher der Skalenfaktor meistens dimensionslos gewählt, sodass gilt:

${\displaystyle a(t_{0})=1.}$

Mit dem Skalenfaktor kann die für die Friedmann-Gleichungen wichtige Energiedichte berechnet werden. Hierfür sind die Komponenten des Universums zu unterscheiden, denn dafür ist der Verdünnungsexponent n maßgeblich, der sich aus dem Zustandsparameter w der Zustandsgleichung (eos) der jeweiligen Komponente ergibt:

${\displaystyle n=3(w+1)}$

${\displaystyle \rho _{x}(t_{2})=\rho _{x}(t_{1})\left({\tfrac {a(t_{1})}{a(t_{2})}}\right)^{n}}$

• Die Dichte von nicht relativistischer Materie wie Himmelskörper, Staub oder Gas wird mit der Expansion auf großer Skala in drei Dimensionen verdünnt und hat den Zustandsparameter w=0 also n=3:

${\displaystyle \rho _{m}(t_{2})=\rho _{m}(t_{1})\left({\tfrac {a(t_{1})}{a(t_{2})}}\right)^{3}}$

• Die Dichte der Strahlung setzt sich einerseits aus der Photonendichte und andererseits aus der Rotverschiebung zusammen, insgesamt mit dem vierfachen Faktor (w=1/3 und n=4):

${\displaystyle \rho _{r}(t_{2})=\rho _{r}(t_{1})\left({\tfrac {a(t_{1})}{a(t_{2})}}\right)^{4}}$

• Die Krümmung des Raumes ergibt sich aus dem Quadrat des Krümmungsradius und verändert sich somit mit dem zweifachen Faktor (n=2):

${\displaystyle \rho _{k}(t_{2})=\rho _{k}(t_{1})\left({\tfrac {a(t_{1})}{a(t_{2})}}\right)^{2}}$

• Die Dichte der Vakuumenergie ist hingegen konstant und skaliert nicht mit der Expansion (w=-1 und n=0).

In gleicher Weise lassen sich die Dichteparameter Ωx bezogen auf heute skalieren, die ja lediglich durch die kritische Dichte normiert sind. Das Ergebnis ist jedoch nicht der Dichteparameter zum damaligen Zeitpunkt, sondern nur als relative Maßzahl zu verstehen. Außerdem ist zu beachten, dass sich die Zusammensetzung der Komponenten im sehr frühen Universum z. B. durch Phasenübergang, Thermalisierung, Reheating, Ausfrieren, Zerfall, Annihilation und Paarbildung etc. vielfach verändert hat.

Bedeutung

Der Skalenfaktor ergibt unmittelbar die Vergrößerung der Entfernungen zwischen zwei Raumpunkten sowie der Wellenlänge λ von Strahlung durch die Expansion des Raumes. Im flachen (ungekrümmten) Universum gilt:

${\displaystyle D_{c}=aD_{A}}$

${\displaystyle D_{c}}$ mitbewegte Entfernung

${\displaystyle D_{A}}$ Winkeldurchmesserentfernung

Damit vergrößert sich der Raum mit dem Faktor a³. Die Dichte von Materie verringert sich daher mit dem Faktor 1/a³.

Die Temperatur T sowie der Wellenvektor k=1/λ des Lichtes sinken mit 1/a. Die Energiedichte der Strahlung h·f/V sinkt deshalb mit dem Faktor 1/a⁴, so dass die Planck-Verteilung der Hintergrundstrahlung erhalten bleibt, die proportional zu T⁴ ist. Bei Pekuliarbewegungen u sinkt der relativistische Impuls mit 1/a:

${\displaystyle a\gamma u=a'\gamma 'u'}$

Zusammenhang

Die Zeit t wird von der Entstehung des Universums an gemessen und ${\displaystyle t_{0}}$ stellt das heutige Alter des Universums mit (13,7 ± 0,2) Milliarden Jahren dar.

Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die Formeln der allgemeinen Relativitätstheorie bestimmt, welche im Falle eines lokal isotropen und lokal homogenen Universums durch die Friedmann-Gleichungen dargestellt sind. Die Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit kann mit dem Expansionsfaktor E berechnet werden:

${\displaystyle {\dot {a}}(t)=H(t)a(t)=E(t)H(t_{0})a(t)}$

Der Skalenfaktor und seine zeitliche Änderung definieren den Hubble-Parameter:

${\displaystyle H(t)={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}.}$

Auch die weiteren Ableitungen werden benötigt, mit der Kosmologischen Konstante Λ:

${\displaystyle {\ddot {a}}(t)=({\dot {H}}(t)+H(t)^{2})a(t)}$

${\displaystyle {\dot {H}}(t)={\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}-H(t)^{2}={\frac {c^{2}\Lambda }{2}}-1,5H(t)^{2}.}$

In der Literatur wird gerne der Beschleunigungs-, Akzelerations-, Dezelerations-, Brems- oder auch Verzögerungsparameter q verwendet:

${\displaystyle q(t)={\frac {-a(t){\ddot {a}}(t)}{{\dot {a}}(t)^{2}}}=-1-{\frac {{\dot {H}}(t)}{H(t)^{2}}}={\frac {{\ddot {a}}(t)}{H(t)^{2}a(t)}}.}$

Literatur

• Arnold Hanslmeier: Einführung in Astronomie und Astrophysik, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2007, ISBN 978-3-8274-1846-3