SIR model anim

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Phrontis

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Quelle:

Wikimedia Commons

Größe:

1048 x 827 Pixel (4841837 Bytes)

Beschreibung:

Animation zum SIR-Modell mit den Startwerten ${\displaystyle S(0)=997}$, ${\displaystyle I(0)=3}$, ${\displaystyle R(0)=0}$ sowie anfänglicher Infektionsrate ${\displaystyle \beta =0{,}0005}$ sowie der konstanten Rate ${\displaystyle \gamma =0{,}04}$ für die Gruppe R. Stehen weder Medikamente noch eine Impfung zur Verfügung, so kann man nur die Zahl der Infektionen reduzieren (häufig als „Abflachung der Kurve“ bezeichnet), indem man geeignete Maßnahmen ergreift (z. B. durch weitgehende Kontaktvermeidung, Ausgangsperre). Die Animation zeigt, wie sich eine Senkung der Infektionsrate um 76 % (von ${\displaystyle \beta =0{,}0005}$ auf ${\displaystyle \beta =0{,}00012}$) auswirkt. System von Differentialgleichungen für dieses Modell:

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-\beta \cdot S(t)\cdot I(t)}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=\beta \cdot S(t)\cdot I(t)-\gamma \cdot I(t)}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=\gamma \cdot I(t)}$

Diese Animation wurde mit GeoGebra erstellt, wobei die numerischen Lösungen des genannten Systems der Differentialgleichungen ermittelt wurden. Der entscheidende Teil der Konstruktion lautet:

##########################################
# das System der Differentialgleichungen #
##########################################
S'(t, S, I, R) = -ß I S
I'(t, S, I, R) = ß S I - γ I
R'(t, S, I, R) = γ I

#######################################################################
# numerische Lösung des Systems der Differentialgleichungen bestimmen #
#######################################################################
NLöseDgl[{S', I', R'}, 0, {s_0, i_0, r_0}, T_{max}]

# liefert:
# NumerischesIntegral1 -> S
# NumerischesIntegral2 -> I
# NumerischesIntegral3 -> R

Anmerkung: In der Literatur werden teilweise modifizierte Formen dieser Differentialgleichungen (DGL) benutzt, die aber gleichwertig sind. Leider werden oft dieselben Parameter benutzt. Beispiel für die erste DGL, wobei die Infektionsrate der Klarheit halber ${\displaystyle {\tilde {\beta }}}$ benannt ist:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\tilde {\beta }}{N}}\cdot S(t)\cdot I(t)}$

Setzt man ${\displaystyle \beta ={\tfrac {\tilde {\beta }}{N}}}$, so ist die DGL identisch mit der oben verwendeten. ${\displaystyle N}$ ist konstant (Invariante des Modells) und für die Aufstellung der DGL nicht erforderlich; bei der hier verwendeten Implementierung wurde noch nicht einmal eine Variable für ${\displaystyle N}$ vorgesehen.

Lizenz:

CC BY-SA 3.0

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Weitere Informationen zur Lizenz des Bildes finden Sie hier. Letzte Aktualisierung: Fri, 16 Dec 2022 20:44:21 GMT

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