Mandelbrot-Iterate-05

Die Farbe eines Punktes ${\displaystyle c}$ der Ebene ist der farbcodierte Wert der Funktion

${\displaystyle f_{c}^{\,n}(0)\quad {\text{ mit }}n=5\quad {\text{ und }}f_{c}(z)=z^{2}+c}$

Hierbei bezieht sich der Exponent auf ${\displaystyle f}$ als Funktion und nicht auf deren Funktionswert, d.h. ${\displaystyle f}$  ${\displaystyle {}^{n}}$ steht für die n-fache Hintereinanderausführung von  ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle f^{\,n}=f\circ f\circ \cdots \circ f}$

Es ist ${\displaystyle f}$  ${\displaystyle {}^{n}}$ also ein Glied der Folge

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{c}^{\,0}\,:\;z&\mapsto z\\f_{c}^{\,1}\,:\;z&\mapsto z^{2}+c\\f_{c}^{\,2}\,:\;z&\mapsto (z^{2}+c)^{2}+c\\f_{c}^{\,3}\,:\;z&\mapsto ((z^{2}+c)^{2}+c)^{2}+c\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle f_{c}^{n}(0)}$

${\displaystyle 2^{n-1}}$

${\displaystyle c}$

${\displaystyle 2^{n-1}}$

${\displaystyle n}$