Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die beiden Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch (benannt nach Francis Murnaghan und Albert Francis Birch) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen ${\displaystyle V}$ eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck ${\displaystyle p}$.

Zustandsgleichung nach Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Murnaghan lautet:

${\displaystyle p={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{K_{0}'}-1\right]}$

${\displaystyle \Leftrightarrow V=V_{0}\cdot \left[{\frac {K_{0}'}{K_{0}}}p+1\right]^{-{\frac {1}{K_{0}'}}}}$

mit

• dem Volumen ${\displaystyle V_{0}}$ des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa
• dem Kompressionsmodul ${\displaystyle K_{0}}$ bei einem Druck von 0 GPa:

${\displaystyle K_{0}=-V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }}$

• der ersten Ableitung ${\displaystyle K_{0}'}$ des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa:

${\displaystyle K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }}$.

Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:

• der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:

${\displaystyle K(p)=K_{0}+p\,K_{0}'}$

• die Größe ${\displaystyle K_{0}'}$ hängt nicht vom Druck ab.

Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan)

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck ${\displaystyle p}$ und der freien Energie ${\displaystyle F}$ besteht:

${\displaystyle p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T}}$

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

${\displaystyle F=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\epsilon ^{n}}$

Hier sind

• ${\displaystyle a_{n}}$ druckabhängige Koeffizienten
• ${\displaystyle \epsilon ^{n}}$ ist die Eulersche Dehnung.

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}\left[1-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right]}$

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:

${\displaystyle p={\frac {3}{2}}K_{0}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {7}{3}}}-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {5}{3}}}\right]\left[1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-4\right)\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\right]}$

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

• F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
• B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)