Zusammenhangskomponente der Eins

Die Zusammenhangskomponente der Eins ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen, der in Mathematik und Physik besonders in der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine topologische Gruppe mit neutralem Element ${\displaystyle 1\in G}$. Dann bezeichnet ${\displaystyle G^{0}}$ die Zusammenhangskomponente der Eins, also diejenige Zusammenhangskomponente von ${\displaystyle G}$, die das neutrale Element enthält.

Eigenschaften

• ${\displaystyle G^{0}}$ ist eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle G}$.
• ${\displaystyle G^{0}}$ ist eine charakteristische Untergruppe von ${\displaystyle G}$ und insbesondere ein Normalteiler.
• Die Faktorgruppe ${\displaystyle G/G^{0}}$ ist eine total unzusammenhängende Hausdorffsche topologische Gruppe. Sie wird als Komponentengruppe von ${\displaystyle G}$ bezeichnet, ihre Elemente entsprechen den Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle G}$.
• Wenn ${\displaystyle G}$ lokal wegzusammenhängend (zum Beispiel eine Lie-Gruppe) ist, dann ist ${\displaystyle G^{0}}$ offen.
• Wenn ${\displaystyle G^{0}}$ offen ist, dann ist ${\displaystyle G/G^{0}}$ diskret.
• Wenn ${\displaystyle G}$ eine algebraische Gruppe ist, dann ist ${\displaystyle G/G^{0}}$ endlich.

Beispiele

• Für die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$ ist ${\displaystyle G^{0}=GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$ die Untergruppe der Matrizen mit positiver Determinante. Die Komponentengruppe ${\displaystyle G/G^{0}}$ ist isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.
• Für ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {C} )}$ ist ${\displaystyle G^{0}=G}$.
• Für eine total unzusammenhängende Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ${\displaystyle G^{0}=\left\{1\right\}}$.

Literatur

• Armand Borel: Linear algebraic groups. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 126. Springer-Verlag, New York, 1991. ISBN 0-387-97370-2
• Lew Pontrjagin: Topological groups. Translated from the second Russian edition by Arlen Brown Gordon and Breach Science Publishers, Inc., New York-London-Paris, 1966.
• Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
• Igor Schafarewitsch: Basic algebraic geometry. Translated from the Russian by K. A. Hirsch. Revised printing of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 213, 1974. Springer Study Edition. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.

Weblinks

• Connected component of the identity (Encyclopedia of Mathematics)